循环环的商环的结构

张子卫，邹宗兰，魏国祥

（四川职业技术学院应用数学与经济系，四川 遂宁 629000）

循环环的商环的结构

张子卫，邹宗兰，魏国祥

（四川职业技术学院应用数学与经济系，四川 遂宁 629000）

首先研究了一般循环环的商环，得到循环环的商环仍是循环环，并给出了其生成元.然后，在此基础上进一步研究了有限循环环和无限循环环的商环，并给出了它们的阶.

循环环；商环；结构

如果环R对加法作成一个循环群，即加群(R, +)是循环群，则称R是一个循环环，并称(R,+)的生成元a为循环环R的生成元，记R=＜a＞．如果循环环R的阶有限，则称R是有限循环环，否则称R是无限循环环.关于循环环的构造理论，在文献[1-2]中已有深入、完整的研究.本文研究循环环的商环的结构，显然它在环论中也具有重要的理论意义.

由文献[3]知道，循环环的子加群、子环、理想三者是一回事，即：设R=＜a＞是循环环，HR，则

在文献[4-5]中有如下的结论：

整数环Z关于模nm的剩余类环的n阶子环为n阶循环环，即为

其中m是模nm的剩余类环中m所在的剩余类．

此结论表明，循环环mZ关于其子环nmZ的商环是以m为生成元的n阶循环环，本文要研究的循环环的商环的结构正是这一结论的推广.我们将先研究一般循环换的商环，然后研究有限循环环和无限循环环的商环.

1 循环换的商环

定理1设循环环R=＜a＞，H≤R，则商环R/H是以a为生成元的循环环，其中a是a所在的剩余类，即R/H=＜a＞，a=a+H.

定理2设R=＜a＞是s阶循环环，m,n是大于等于1的整数，则＜ma＞关于＜nma＞的商环是以ma为生成元的k阶循环环，即

其中a=a+＜nma＞∈＜a＞/＜nma＞，k=(nm,s）/（m,s)．证明：由定理1,有

又因＜ma＞/＜nma＞的阶为

[s/(m,s）]/[s/(nm,s)]=(nm,s）/（m,s)=k，所以结论成立.

3 无限循环环的商环

对于无限循环环R，有R/{0}=R，R/R={0}，即H是R的平凡理想时，商环R/H已经很清楚，下面对H是R的非平凡理想的情形进行讨论.

定理3设R=＜a＞是无限循环环，m,n是大于等于1的整数，则＜ma＞关于＜nma＞的商环是以ma为生成元的n阶循环环，即

证明：由定理1已有

故＜ma＞/＜nma＞ {0,ma,2ma,…,(n-1)ma}，从而等式成立．

(j-i)ma=0，(j-i)ma=knma(k∈Z)，

由于a的加法阶是∞，故(j-i)m=knm，j-i=kn，从而k=0，j=i，即＜ma＞的阶为n，从而结论成立．

推论1设＜a＞是无限循环环，则＜a＞关于

＜na＞的商环是n阶循环环，即

其中，a=a+＜na＞∈＜a＞/＜na＞.

推论2设R=＜a＞是无限循环环，a2=ka，m,n是大于等于1的整数，则

证明：由定理3，＜ma＞/＜nma＞=＜ma＞是n阶循环环，且(ma)2=m2ka=mk(ma)，由[2]的定理2的推论2知结论成立．

[1]杨子胥．关于循环环及其幂等元[J]．数学的实践与认识，1985，15（03）：73-76．

[2]张隆辉，石化国，廖辉，等．有限循环环的构造[J].数学的实践与认识，2011,41（11）：150-153．

[3]杨子胥．近世代数（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，20 03：178-181．

[4]杜福昌．剩余类环Z/mZ的理想素理想极大理想[J]．辽宁师范大学学报（自然科学版），1989，12（01）：66-68．

[5]张隆辉，石化国，赵凤鸣．关于nZ的理想及商环[J].大学数学，2011,27（03）：50-52．

On theStructureof theQuotientRingofaCircularRing

Z H A N G Z i w ei,Z OU Z onglan,W E I G uo x iang
(D epar tment of A ppl ied M athematicsand E conomicsof S ichuan V ocational and T echnical C ol lege,S ichuan S uining 629000)

I n this paper,thequotient ringof a general circular ring is studied,it is got that the quotient ringof ageneral circular ring is alsoa circular ring,and its generator is gi v enout.O n the basis,then,the quotient rings of a f inite cycl ic ring and a inf inite cycl ic ring are fur ther studied ,and their ordersaregi v enout.

C ircular R ing;Q uotient R ing;S t ructure

O153.3

A

1672-2094(2013)01-0154-02

责任编辑：张隆辉

2012-07-28

四川职业技术学院自然科学研究项目（2009Z05）；四川省教育厅自然科学研究项目（11Z B174）.

张子卫（1963-），男，四川遂宁人，四川职业技术学院应用数学与经济系副教授.研究方向：数学教育.

邹宗兰（1965-），女，四川遂宁人，四川职业技术学院应用数学与经济系副教授，硕士.研究方向：数学教育.