变惯量曲轴系统扭转振动参数分岔分析

韩建鑫，王 炜，张琪昌

(天津大学 机械学院 天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津 300072)

曲轴是内燃机重要旋转部件，其扭转振动是引发内燃机振动的主要因素。在进行曲轴系统扭转动力学理论分析过程中，先需确定系统当量转动惯量再进行建模分析。目前大多数计算模型均采用常转动惯量等效替代活塞、连杆等往复部件转动惯量［1］，忽略实际转动惯量随转角周期变化因素［2］。研究表明，该等效近似处理会使扭振计算出现较大误差［3］。

为更好反映实际系统振动，国内外学者考虑变惯量因素，对曲轴系统扭振进行了较详细的理论计算与仿真分析。王升润等［4］以单圆盘变惯量曲轴系统为模型，研究并解释了共振情况下系统稳态振幅的跳跃现象成因;向建华等［5］以六圆盘曲轴系统为研究对象，数值分析了变惯量引入对轴系扭转角幅值影响;朱向哲等［6］利用已有变惯量公式，数值分析了六圆盘曲轴系统动力学特性;Brusa等［8］考虑曲轴系统往复运动特点，建立多圆盘系统振动方程，数值分析了系统在自由振动与强迫振动下的稳定性问题;Metallidis等［9］考虑往复部件影响，建立了单缸、多缸曲轴扭转振动模型，将变惯量参数处理为无量纲小量，利用多尺度方法得到单缸曲轴—外部轮轴组成的两自由度系统平均方程，用数值方法研究了参数对系统稳态幅值影响。以上研究对深入了解曲轴扭转振动机理具有重要指导意义。

然而，现有文献或将变惯量参数处理为无量纲小量进行分析，或用数值方法进行仿真研究，无法从理论方面了解该参数对系统分岔行为的影响。为此本文，① 利用变惯量公式［9］，充分考虑曲轴轴系一及三次弹性力矩、阻尼力矩，以及系统受到由活塞气压变化所产生的不平衡激励力矩，建立单缸变惯量曲轴系统动力学方程;②应用多尺度法得到系统在转动频率、激励频率与固有频率近似满足1∶2∶1情况下的分岔方程;③应用奇异性理论［10］研究共振情况下系统稳态幅值随变惯量参数及调谐参数变化的分岔情况;④选取实际物理参数，将理论结果与数值仿真结果进行对比，验证理论分析的正确性。本文研究对充分认识变惯量因素对曲轴扭转振动特性的影响，促进轴系优化设计具有一定指导意义。

1 振动微分方程建立

1.1 变转动惯量

设曲柄半径为r，转动惯量为Ic，连杆长度为l，连杆质心G到曲柄端A的距离为l1，曲柄质量为mc，连杆质量为mr，活塞质量为mp，曲柄转角为θ，扭转角为φ，曲轴工作角频率为Ω，曲柄连杆工作过程中三者满足θ=Ω t+φ，如图1所示。

图1 活塞—曲柄机构原理图Fig.1 Schematic figure of piston-crank model

据内燃机动力学知识，活塞速度vp可近似表示为:

式中:λ0为连杆比，λ0=r/l。

据瞬时动能等效条件:

式中:m1，m2分别代表连杆等效到曲柄销的旋转部分质量和等效到活塞上的往复部分质量，m1=(l-l1)mr/l，m2=l1mr/l。

将式(1)代入式(2)，得系统变转动惯量为:

由于λ0=1/5～1/3比值较小，忽略λ0及高次项，得系统变转动惯量［2］表达式为:

式中:J0=Ic+m1r2+(m2+mp)r2/2，β=(m2+mp)r2/(2J0)。

1.2 单缸曲轴动力学模型

图2 单缸曲轴等效模型简图Fig.2 Equivalent model of single cylinder crankshaft

考虑活塞等往复部件影响，将单缸曲轴等效为单圆盘模型，如图2所示。考虑曲轴阻尼力矩，一次、三次弹性力矩［11］及活塞气压变化引起的不平衡激振力矩(力矩频率与系统转动频率成比例关系［12］)。系统的动能、势能、耗散能与外界激励力矩分别表示为:

据Lagrange方程:

考虑实际情况下系统许用扭转角φm(φm=±0.2°～ ±0.5°)较小［9］，三角函数 sin(2θ)和 cos(2θ)取值可近似表示为sin(2Ω t)和cos(2Ω t)，则系统动力学方程可写为:

式中:k1，k3分别为曲轴线性刚度系数及三次非线性刚度系数，c为曲轴线性阻尼系数，T为激励力矩幅值，Ω1为角频率。

2 非线性振动特性分析

对式(8)进行量纲分析并考虑实际情况下系统弱阻尼与弱非线性特性，将变惯量影响视为方程摄动量，在相应项前冠以小参数标志ε，则有:

2.1 系统分岔方程

ω，Ω1取值不同对应的振动情况亦不同，为简化研究过程，设主要激励频率Ω1=2Ω，即μ=2，令μn=1+εσ，其中σ为调谐参数，其它情况下分析类似。

用多尺度方法［13］研究方程振动特性，引入时间尺度Tn=εnτ(n=0，1)，设式(9)一次近似解为:

将式(10)代入式(9)，并令等式两边ε同次幂系数相等，得偏微分方程为:

其中:Dn=∂/∂Tn(n=0，1)。

设式(11)复数形式解为:

将式(13)代入式(12)得:

消除永年项条件为:

将A表示为极坐标形式:

将式(16)代入式(15)，分离实虚部并化简，得:

最终得系统一阶近似解为:

2.2 定常解稳定性分析

研究定常解在(σ，β)平面分布情况。将α，ζ视为常数。将a2视为未知变量，式(19)的判别式为:

通过对式(19)、式(20)分析，得:① Δ ＞0，若16ζ2+16σ2-β2＜0，则系统存在两个解:a1=0，a2若 16ζ2+16σ2-β2＞0且σ＜0，则系统存在三个解:a1=0，a2，3=其它情况系统只存在零解;② Δ=0，若σ＜0，则系统存在两个解:a1=0，其它情况系统只存在零解;③ Δ＜0，系统只存在零解。

为研究定常解的稳定性［14］，令:

其中:u，v均为实函数，将式(23)代入式(17)、式(18)，求得直角坐标形式下的平均方程为:

式(24)、式(25)的Jacobi矩阵为:

对应零解的特征方程及解可分别表示为:

对应于非零解特征方程及解可分别表示为:

据稳定性判别条件式(28)、式(30)，即可判断不同参数区间内零解与非零解的稳定性。

2.3 系统转迁集与普适开折

据式(19)、式(20)，可将系统分岔方程表示为:

故系统转迁集为:

转迁集将开折参数空间分为两个区间，各区间分岔见图3。

图3 系统转迁集及分岔图Fig.3 Removal set and bifurcation diagram of the system

工程问题分析时，可将原系统物理参数代入，得到无量纲系数β，ζ，σ，α的值，从而判断系统分岔行为。

2.4 开折参数对原系统影响

当式(22)中β＜4ζ时，系统只有零解，此时系统的稳态幅值为零且无分岔产生;当β≥4ζ时，随着系统参数变化，定常解个数会改变，即发生分岔行为。

2.4.1 变惯量参数β对系统影响

(2)调谐参数|σ| ≪1且σ＞0，变惯量参数β变化时，系统稳态幅值分岔图如图4(b)所示，此时只存在第二临界点，特征点坐标A1=(βc2，0)。当0＜β＜βc2时，系统只有零解，振动幅值很小，此为工程设计理想情况;当β≥βc2时系统出现稳定非零解，此时系统振幅随β变化较大，工程中应避免。

图4 系统幅值随参数β变化分岔图Fig.4 Bifurcation diagrams whenβ changes

图5 系统幅值随参数σ变化分岔图Fig.5 Bifurcation diagram whenσ changes

2.4.2 调谐参数σ对系统影响

(1)系统参数β≥4ζ，调谐参数σ变化时，系统幅频响应如图5所示，两个临界点分别为σc1=，三个特征点坐标分别为A2=(σc1，0)，B2=(σc2，0)，C2=

当σ＜σc1时，系统存在两个稳定解，此时振动过程与初始条件有关;当σc1≤σ＜σc2时，系统存在非零稳定解，且幅值较大;当σ≥σc2时，系统只有稳定零解，为工程中理想情况。

(2)系统参数β＜4ζ，调谐参数σ变化时系统只有稳定零解。

综合上述对β，σ分析，并结合式(21)，得:

(1)随参数的取值不同，式(31)关于振幅a解的个数及稳定性均不同，工程中希望在参数空间内取值使a=0作为稳定唯一解，此时原振动系统一阶近似解可简化为φ=ε［(β-f)sin(2Ω t)］/3，系统振动幅值只与参数β，f有关，当两者差值较小时，系统保持小幅振动;

(2)a=0条件:① 系统转动频率大于固有频率(σ＜0)时，应优化参数β值，使其保持在β＜4ζ范围内;② 当系统转动频率小于固有频率(σ＞0)时，应优化参数β值，使其保持在范围内;

(3)若(1)、(2)均不满足，则曲轴振动将进入分岔区域，不利于内燃机系统正常工作。

3 数值分析

为验证理论分析的正确性，本文引入工程中物理参数［6］进行数值仿真分析。选k1=2.35 ×106N·m·rad-1;k3=3.1×105N·m·rad-3;T=500 N·m;Ω=2 500 rad·s-1;Ω1=5 000 rad·s-1;c=20 N·m·s·rad-1。并选三组影响转动惯量参数β进行分析:

(1)m1=2.572 kg;m2=2.206 kg;mp=2.295 kg;r=0.0432 m;Ic=0.411 kg·m2。此时变惯量参数β=0.01，原系统存在一个解a1=0(S)(其中“S”表示稳定解，“US”表示不稳定解，下同)，仿真结果见图6。

(2)m1=1.721 kg;m2=1.631 kg;mp=2.52 kg;r=0.211 m;Ic=0.25 kg·m2。得到系统变惯量参数及临界参数分别为:β=0.22，βc2=0.218 7。可判断系统存在两个解:a1=0(US)，a2=1.561 6(S)。此时系统发生大幅振动，共振现象明显，仿真结果见图7。

(3)m1=2.238 kg;m2=1.115 kg;mp=1.295 kg;r=0.132 m;Ic=0.360 kg·m2。此时变惯量参数及临界参数分别为:β=0.05，βc1=0.038 10，βc2=0.218 7。原系统存在三个解:a1=0(S)，a2=1.016 2(US)，a3=1.182 5(S)，不同初值下系统仿真结果如图8所示。本文认为大振幅情况(图8(b))不太会出现，但应在曲轴设计中避免。

图6 第一组参数下时间历程图Fig.6 Time process figure with the first parameters

图7 第二组参数下时间历程图Fig.7 Time process figure with the second parameters

图8 第三组参数下时间历程图Fig.8 Time process figure with the third parameters

4 结论

应用多尺度法与奇异性理论研究了曲轴系统转动频率、不平衡激励力矩频率与固有频率近似满足1∶2∶1情况下，变惯量参数β及调谐参数σ对曲轴扭转振动分岔行为影响，结论如下:

(1)变惯量参数β、调谐参数σ及阻尼参数ζ影响系统在共振情况下的稳态振幅。三参数取值合理，系统保持小幅振动，否则系统出现不稳定的大幅振动，因而导致系统故障，工程设计中应考虑三参数的相对关系;

(2)固有频率ω与转动频率Ω满足ω＞Ω时，系统振动过程中不存在第一临界点βc1=4ζ，扩大了参数β的稳定区间，而稳定振幅在临界点附近不会发生跳跃现象，避免出现突发系统故障;

(3)变惯量参数β与力矩幅值f差值较小时，存在判别条件:①β＜4ζ;②β≥4ζ且系统固有频率ω大于转动频率Ω。当系统参数关系满足①、②中任意一条时，均可保证系统在许用幅值下做小幅振动，且不会发生稳态振幅大幅变化现象。

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