乐高差速器中齿轮组内部角速度关系初探——用高中物理知识解释简易差速器

郝志国 沈丽

(张家口市宣化第一中学 河北 张家口 075100)

1 差速器用途[1]

差速器是一种能使旋转运动自一根轴传至另一根轴，并使两轴实现不同的转速的差动机构．简单地说，差速器就是在汽车转弯时，能够让汽车的内侧车轮与外侧车轮以不同转速转动的装置，下面通过图片可以简要说明．

汽车直行时，两侧车轮转速相同，角速度也相同，如图1(a)所示，即ω内=ω外.

汽车转弯时，外侧车轮要比内侧车轮走过的弧长更长，如图1(b)所示，所以外侧车轮要求转速更快，即ω外>ω内．如果两侧车轮都固定在同一根轴上，这是不可能实现的，这就需要差速器来完成．

图1 汽车直行和转弯时，两轮的转速和角速度

2 普通差速器的结构(以乐高差速器为例)

这里我们以最简单最基本的差速器——乐高差速器为例，简单做一下差速器结构的介绍，至于各种实际车辆中更复杂的差速器我们暂不讨论．

差速器由两个与车轴固定的齿轮，我们称之为太阳齿轮S1，S2，由一个固定在框架上的行星齿轮P和一个行星框架(差速器外壳)组成，其中3个齿轮都是锥形齿轮．如图2所示，两个太阳轮分别与两个车轴固定连接， 即分别与两车轮有相同的转速，行星齿轮固定在差速外壳上，并受太阳齿轮的影响而转动，因此，差速器外壳与行星齿轮一起公转，有相同的角速度．

图2 差速器的结构图

3 用高中物理知识解释简易差速器中齿轮组的角速度关系

首先，我们要用高中物理知识，先解释最基础的两齿轮相互咬合时的角速度关系，然后再解释行星齿轮组的角速度关系，最后解释差速器中齿轮组的角速度关系，目的是总结出车轮在直行和转弯时差速器的运行规律．

3.1 两固定齿轮咬合时角速度的关系[2]

如图3，齿轮A，B分别固定在两轴上轴心分别为O1，O2，A齿轮的半径为r1，角速度为ω1，线速度为v1，B齿轮的半径为r2，角速度为ω2，线速度为v2．当A齿轮顺时针转动时，会带动B齿轮按如图4方式转动，两齿轮相互咬合，故具有相同的线速度

v1=v2

(1)

v1=ω1r1

(2)

v2=ω2r2

(3)

(4)

图3

3.2 行星齿轮与太阳齿轮咬合时公转线速度与自转线速度的关系

我们将差速器结构图(图2)转过90°来看一下．此时行星框架内部的结构就如图4，上下两个太阳齿轮之间是一个行星齿轮．要想研究两个太阳齿轮和行星齿轮之间的角速度，我们先研究一下行星齿轮在水平齿条上转动的情形．

图4 差速器结构图转90°

水平齿条可看作半径无限大的齿轮，行星齿轮整体前进(公转)的同时也在绕轮心转动(自转)，我们先研究一下齿轮轮心前进的速度v公和齿轮边缘转动时的线速度v自之间的关系．如图5在齿轮上标记一点Q，当Q转动一圈时，Q走过的路程就是齿轮边缘的周长，可以观察到轮心的初末位置之间的距离也是这个周长，也就是说轮心在相同的时间也移动了相同的距离， 这就说明了

v公=v自

图5

如果齿条本身也向前运动，向前移动的速度是v1，则齿轮在齿条上向前转动的同时，也随齿条一起向前移动，由图6的几何关系式可得

v公t=v自t+v1t

即

v公=v自+v1

图6

然后可以把齿条换成一个有确定半径的齿轮——太阳齿轮，在太阳轮自己绕轴心O1转动的同时，行星轮也围绕太阳轮转动．如图7所示，当太阳齿轮边缘转动的线速度是v1时，行星齿轮边缘自转的线速度v自与行星齿轮轮心公转的线速度v公也满足

v公=v自+v1

图7

再由线速度与角速度和半径的关系知

ω公r日=ω自r星+ω1r日

下面来分析乐高差速器中一个太阳齿轮与行星齿轮的关系，简易图如图8所示，虽然行星齿轮的转动平面与太阳齿轮的转动平面垂直，但是把行星齿轮在太阳轮平面上投影，我们仍然可以发现和图8中两齿轮共面时的规律相同， 即满足

ω公r日=ω自r星+ω1r星

图8

若r星=r日(既太阳轮与行星轮采用相同齿轮)，则有

ω公=ω自+ω1

(9)

接下来我们研究齿条在齿轮的上方时，齿条与齿轮的速度关系．由图9的几何关系式可得

v2t=v自t+v公t

即

v2=v自+v公

图9

同理，乐高差速器(齿轮组简图如图11)中的齿轮组另一个太阳齿轮(图10中上方太阳轮)与行星齿轮的关系应满足

v2=v自+v公

图11 差速器与两车轮连接方式图

又因为上下两个太阳轮与中间行星齿轮均采用相同齿轮，所以满足

ω2=ω自+ω公

(10)

联立式(9)、(10)可得

2ω公=ω2+ω1

(11)

3.3 乐高差速器与车轮连接的三种工作状态

差速器与两个车轮连接的方式如图11所示．

图11

3.3.1 小车直行时

当小车直行时，左右两轮在相同的时间走过相同的距离，所以有左右两轮的角速度相同，即

ω1=ω2

因2ω公=ω2+ω1，有ω公=ω2=ω1．

也就是说两个太阳轮的转动方向相同、在数值上角速度相同，此时行星轮没有自转只有公转．所以太阳轮S1和S2等转速向前转一圈，行星轮P也带动行星框架向前公转一圈，可以视为两车轮同轴转动．

3.3.2 小车一个轮不动，另一个轮绕其转动

小车一个轮不动，与其相连的一个太阳齿轮S1也会不动，即ω1=0，由于以前推出2ω公=ω2+ω1，可知2ω公=ω2，又由于ω2=ω自+ω公，所以

即太阳齿轮转一圈时，行星齿轮自转半圈，并且公转半圈．也就是说当一侧车轮不转动，另一侧车轮转动的角速度是行星框架角速度的2倍．

3.3.3 当小车任意转动时

由ω公=ω自+ω1可知内侧车轮的角速度小于行星框架的转动角速度，且等于行星齿轮的公转角速度与自转角速度之差；由ω2=ω自+ω公可知，外侧车轮的角速度大于行星框架的转动角速度，且等于行星齿轮的公转角速度与自转角速度之和．所以两个车轮的转动角速度的不同是靠行星轮的自转实现的，且与行星轮的自转角速度无关

2ω公=ω2+ω1

4 小结

本文旨在利用高中物理运动学知识解释清楚差速器中齿轮组内部角速度关系．我们首先研究齿轮在齿条上转动时，齿轮边缘的自转速度与齿轮轮心向前移动的速度(称为公转速度)之间的关系，然后将齿条换成齿轮，亦有同样的结果．再根据角速度与线速度的关系得出中间固定的太阳齿轮转动的角速度，与行星齿轮公转角速度、自转角速度之间的关系．最后将平面齿轮推广到锥形齿轮，得到内侧齿轮ω公=ω自+ω1，外侧齿轮ω2=ω自+ω公，联立两式得2ω公=ω2+ω1，并用其解释了在小车的三种工作状态中，差速器齿轮组之间的角速度关系．由于学识有限，难免有疏漏和不足之处，恳请批评指正．

参考文献

1 王望予.汽车设计.北京：机械工业出版社，2000.118～124

2 张大昌.高中物理·必修2.北京：人民教育出版社，2007.13～16