运用双曲线知识求解物理问题

2013-01-11杨国平

物理通报 2013年4期

关键词：渐近线话筒双曲线

杨国平

(绍兴市第一中学浙江绍兴 312000)

1 双曲线的几何特性

双曲线在物理竞赛中时有涉及，其主要的几何性质有：

图1

(3)从焦点发出的光经双曲线镜面反射，光线反向延长线会聚于另一焦点，这是双曲线的光学性质.如图1(b)所示，双曲线在A点的法线是∠F1AN的角平分线；过A点的切线AO是∠F1AF2的角平分线.

2 以双曲线为载体的竞赛题

【例1】图2(a)为某一报告厅主席台的平面图，AB是讲台，S1和S2是与讲台上话筒等高的喇叭，它们之间的相互位置和尺寸如图所示.报告者的声音放大后经喇叭传回话筒再次放大时可能会产生啸叫，为了避免啸叫，话筒最好摆放在讲台上适当的位置.已知空气中声速为340 m/s，若报告人声音的频率为136 Hz，问讲台上这些位置在哪里?

图2

代入得

它与直线方程y= -12的交点即为干涉相消点的位置，代入后有

令k=1，解得x≈0.87 m；k=3，x≈2.61 m；k=5，x≈4.40 m(已在B点以外).

由对称性知，与y轴对称的左侧讲台上也有两个位置是干涉相消点.

【例2】两块相同的大玻璃平板夹一个小角度φ，这样就在两板之间形成一个楔形的空气膜.把两块板竖直地插入水面，水会沿着玻璃板面爬升一定的高度，试判断稳定后两板之间的液面边缘(即与玻璃板面的交线)形状.

图3

解析：建立图3所示的直角坐标系xOy，其中y轴为两板的公共边，x轴落在水面上.在曲面上任取一点P(x,y)，在其周围取一长方体(实为四棱柱)微元，高为y，长为Δx→0，宽为xφ，稳定后该微元的重力Δmg与表面张力F张平衡.

其中F张=2σΔx·cosθ(θ为水与玻璃的接触角)，微元质量Δm=ρ·ΔV=ρ·Δx·xφ·y.代入后

2σΔx·cosθ=ρΔx·xφy·g

化简得

【例3】如图4(a)所示，长为L的细棒AB均匀带电，在xOy平面上的电场线方程为

A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

图4

【例4】一人造卫星绕地球做椭圆运动，其半长轴和半短轴分别为a和b.当该人造卫星在轨道的远地点时，突然以很大的能量ΔE沿卫星运行方向从卫星上发射出一个质量为m的太空探测器，该探测器在地球引力作用下做双曲线运动，并以地心为此双曲线的焦点，实半轴的长度正好等于原来椭圆远地点到地心的距离.求ΔE.设地球的质量为M，万有引力常量G已知，不计地球以外星体的影响.

解析：显然ΔE=E′-E，式中E′为探测器在双曲线轨道上的能量，E为在椭圆轨道上的能量.在椭圆轨道上机械能守恒，设远地点(如图5中的A点)和近地点的速度分别为v1和v2，有

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