一道经典试题的研究与拓展

● (温州中学 浙江温州 325014)

一道经典试题的研究与拓展

●马玉斌(温州中学 浙江温州 325014)

阅读张景中先生的“走进教育数学丛书”之一《绕来绕去的向量法》，书中第75页例5.21引起了笔者的兴趣.

图1

图2

题目如图1，在△ABC内任取一点O，用SA,SB,SC分别表示△BOC,△COA,△AOB的面积，则

本文对这一问题进行探讨，并进一步对问题加以拓展.

1 证法探究

原题即证

e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0.

设x=e1sinα+e2sinβ+e3sinγ,因为

x·e1=(e1sinα+e2sinβ+e3sinγ)·e1=sinα+sinβcosγ+cosβsinγ=sinα+sin(2π-α)=0,

同理

x·e2=0，

所以

x=e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0.

同理可得

S△C′O′A′=S△A′O′B′=SASBSC，

图3

图4

因此

S△A′O′B′=S△C′O′A′=SB′O′C′，

证法3如图3，过点O作OE//BC,OD//AC.设点O到边BC,AC,AB上的高依次为ha,hb,hc，则

证法4如图4,延长BO交AC于点D,原题即证

怀远石榴虽然品质良好，但是缺乏宣传，知名度十分有限。怀远县的石榴很少利用新媒体的宣传方式，只是依靠品质与口碑扩大销路。当今社会，信息繁多，如何吸引消费者的关注成为了产品销售的重要因素之一。“酒香不怕巷子深”的时代早已不复存在，缺乏宣传的产品很容易导致无人问津。而怀远的石榴却恰恰忽视了宣传这个重要因素。虽然怀远的石榴拿到了国家的农产品奖项，但是由于缺乏宣传，怀远石榴的知名度仅限于安徽省北部的地区即周边省。这样会使得即使怀远石榴及其相关产品生产出来，也只会积压在仓库内，造成资源浪费。因此，知名度小是该地区石榴产业化的重大阻碍。

故

证法5设∠BOC=α，∠COA=β，∠AOB=γ.因为

图5

图6

同理可得

证法6已知有结论1和结论2：

图7

故

即

从而

2 问题拓展

图8

类似地必有：

从而

拓展2设点O是△ABC所在平面上的一点，则

利用原题的结论及五心的性质，可以得到证明(略).

类似于平面向量的结论，建立空间直角坐标系，同样可以证明，限于篇幅略去.

[1]张景中，彭翕成.走进教育数学：绕来绕去的向量法[M].北京：科学出版社，2010.

[2]江建国，赵曙.只有“放”得充分才能“收”得有效——“平面向量的几何意义及应用”复习课简录及思考[J].中学数学，2011(5)：21-22.

[3]鲍利人，李太新 .三角形“五心”向量形式又一充要条件及其证法[J].数学通讯,2004(8):16-17.