中美初中教科书中“全等三角形”的比较

● (浙江师范大学数理与信息工程学院 浙江金华 321004)

中美初中教科书中“全等三角形”的比较

●施倩倩邵媛媛周丹清(浙江师范大学数理与信息工程学院 浙江金华 321004)

1 背景

几何在生产生活中的广泛应用及在人类文明发展进程中的重要作用，使得该领域在数学教育中备受关注.我国新课程改革对初中阶段的几何课程作了较大变革，但也引起了许多争议.笔者以国外几何课程为鉴，反思我国当前的几何课程改革.

美国教育历来重视学生数学思维特别是创新思维的培养，而这恰恰是中国教育的薄弱之处.基于此，笔者对中国和美国的数学教材进行了比较.《发现几何——一种归纳的方法》[1](以下简称《发现几何》)在编写上有关青少年几何思维的发展的指导思想与范希尔理论[2]提出的思维发展水平极为相似.我国人教版《数学》[3](以下简称《数学》)编写历史悠久、使用广泛，因此在我国多套数学教科书中也更具代表性.本文选取《发现几何》与《数学》进行比较，并从教科书的内容及其培养目标这2个维度进行分析.

为讨论的方便与深入，本文仅对其中“全等三角形”一章进行比较.这是因为，全等三角形作为平面几何的基础，对于学习相似三角形、其他平面几何图形的性质定理以及几何证明等具有指导意义.学习掌握全等三角形的相关知识对于提高学生的观察能力、科学探究能力、分类思想、辩证思维等具有重要的作用.

2 教科书内容的比较

2.1 内容的编排与衔接

中美教科书关于“全等”知识的编排如表1所示.

表1 关于“全等三角形”的编排

总体看来，《发现几何》与《数学》的知识点大致相同，均按照“全等三角形”、“三角形全等的条件”、“角平分线的性质”的路线，即按照“定义”、“探究”、“应用”的脉络编排.

从细节来看，《发现几何》除了定义全等图形，对全等线段、全等角、全等多边形也有定义，但不再定义全等三角形.在三角形全等条件的探索中，先讨论了1个或2个元素对应相等的条件，由此得出需要第3个元素，此时罗列出所有可能的情况.在探讨3个元素对应相等条件时，按照3个元素都是边或都是角、3个元素中有1个是角或1条边(按是否为夹角或夹边讨论).在等腰三角形的再探索中，通过角平分线研究了等腰三角形的“三线合一”.在证明全等三角形对应部分的全等时，分2步：第1步按一般的证明思路证明；第2步采用框图的证明方法，将条件和结果清晰地展现出来.

《数学》先定义全等形，再定义全等三角形.在全等三角形条件的探索中要求学生用尺规作全等三角形，探索2个元素相等时的情况.在探讨3个元素的情况时，先按3条边相等探究，再按改变其中1个元素(讨论是否为夹角)、改变其中2个元素(讨论是否为夹角)、改变3个元素探究.全等三角形的证明方法紧跟各个探究条件之后，用大括号表示全等条件，思路清晰.《数学》还探索了直角三角形这个特殊三角形的全等条件，这就融入了“由一般到特殊”的思想.

2.2 内容的呈现

2.2.1 知识的引入

《发现几何》的章首开门见山，直接给出“全等”的定义，继而明确本章的主要任务是发现三角形全等的条件，最后以装配线生产汽车部件为例，阐明数学知识在现代化生产中的应用.章首给出了核心概念，能与新课紧密连接，发挥了章首的作用.在第1节中通过找全等图形的练习加深理解,该习题的图形饶有趣味、富有吸引力.在初步形成全等概念的基础上，引出全等线段、全等角全等多边形的定义并作解释，并自然推出三角形的全等，但不再定义全等三角形.接着以“承包商想知道娱乐场用于支撑屋顶的2个三角架是否全等”为情境(配有插图)，通过探索三角形全等的条件帮助承包商解决问题，以此激发学生的求知欲，融入了“助人为乐”的品德教育.

《数学》的章首提出一系列需要通过本章学习来解决的问题，并提示本章内容的几大重点，相比之下，提出了更明确的学习任务.另外，章首还配有2张现代工业工艺图片，比《发现几何》文本化描述更形象直观，也使学生感受到数学的应用价值.在第1节中也呈现一些图片，先请学生找出其中形状和大小相同的图形，这个活动隐含了全等的概念，使学生获得“全等”的视觉体验；再根据样板裁剪出来的图形与样板是否重合引入全等形的定义，并由此推得全等三角形的定义；接着通过“思考”栏目中平移、翻折、旋转等变换得到全等三角形，帮助学生多角度把握全等的含义.

2.2.2 概念表述

根据概念生成方式的不同，《发现几何》与《数学》在全等形的表述上也存在差异.《发现几何》直接定义形状和大小都相同的图形为全等图形.由此得到，长度相等的线段为全等线段，角度相等的角为全等角.接着说明2个边数相同的多边形存在对应关系，由字母的顺序可以知道哪些是对应边、哪些是对应角，然后推出对应边和对应角“全等”的多边形的全等多边形.

《数学》在引入全等形时通过2个活动得出形状和大小相同的图形能完全重合，于是得到能完全重合的的图形为全等形，进而推得能完全重合的2个三角形叫做全等三角形.并且得出，把2个全等的三角形重合在一起，能重合的顶点叫做对应点，能重合的边叫做对应边，能重合的角叫做对应角，从重合的角度更好地诠释了全等多边形中的对应关系.

2.3 内容的丰富程度

《发现几何》特有的模块包括“提高直觉思维”、“特殊作业”、“合作解题”、“计算机活动”、“名言名句”等.“提高直觉思维”设置在课后练习之后，虽是与本章内容的相关性不大的数学“小插曲”(即数学趣题)，但对发展学生的灵活性思维非常有利.“特殊作业”与“合作学习”栏目，内容丰富，设计精巧，题目兼顾知识点与趣味性，围绕学生感兴趣的话题展开，并由学生课后合作完成，在相对轻松的氛围中激发学生学习的积极性，从而提高学习效率.“全等”这一章的“计算机活动”是用Logo作正多边形与星形.学生可根据课本介绍进行上机操作，作出许多全等图形及正多边形，切实感受计算机作图的便捷性，提高信息素养.《发现几何》几乎每一小节都有与学习内容相关的名言名句，如在探索三角形全等的条件时引用安德鲁的“只有最愚蠢的耗子才会躲进猫的耳朵里，但是，只有最聪明的猫才会想起往那里看看”，向学生传递“善于发现”的信息.

《数学》中设有“阅读与证明”、“数学活动”栏目.本章的“阅读与证明”安排在三角形全等判定定理后，向学生陈述证明的重要性.如果先得到“证明作用”的解释，再学生先学习证明方法，则更合乎一般的认知过程.“全等三角形”的“数学活动”共有2个，活动1是在简单的平面几何中寻找全等形与全等三角形，活动2是运用全等三角形知识测量旗高.2个活动从理论的几何知识过渡到了实践体验，使学生切身体会到全等三角形在生活中的实际应用.

综上所述，中美教科书的内容均比较丰富，《发现几何》的涉及面更为宽广，关注学生直觉思维、合作能力、信息素养等多方面的提升；而《数学》则主要侧重合作、应用能力的培养.

3 教科书培养目标的比较

3.1 探究能力的培养

《发现几何》先探讨1个或2个元素对应相等时能否判断2个三角形全等，从而作出猜想：判断2个三角形是否全等需要3个元素；再请其对各种可能的情况作出假设，提升思维的广度与严密性；然后要求学生根据已知条件独立作图来验证，并相互比较、探讨；最后总结自己的猜想.整个过程将自主探究、动手实践、合作交流落到实处，并且注重科学探索方法的掌握.

《数学》探索步骤上省去了1个元素对应相等的探索(见表1)，显得不够全面.探索2个元素对应相等的探索时，不予条件提示，由学生自主探究.而这种情况并不复杂，给了学生较大的探索空间.当难度上升，探讨3个元素对应相等时，则采用尺规作出全等三角形的方法得出全等条件，并引导学生进行分类讨论，通过改变条件，发现新的知识，同时也学会了用尺规作全等三角形的多种方法.

3.2 数学思维的发展

通过解决数学问题，学生的思维能力往往会得到提高，下面从书本的例题与习题出发，比较两国教科书对思维的过程性、严密性与灵活性的重视程度.

(1)例题中展现的思维

《发现几何》的例题是在三角形全等的条件都探索后出现的，这样的处理可以引导学生运用所学知识通过自己的判断来选用合适的证明方法.这就需要学生通过自己构建的知识体系去思考解决问题的方法，并在解决问题的过程中，进一步完善知识的架构，但这样的模式需要熟练掌握各个定理的基础上才可.如果定理的运用没有及时训练，基础没有落实，在最后思维灵活性的锻炼可能作用不大.其例题按照“题目”加“解答过程”的模式，证明方法按照“框图证明”，即“用框图的形式表示逻辑论证”(如图1所示)，思路清晰、逻辑严密，简洁方便.

例1已知AR=ER,EC=AC,求证：∠E=∠A.

框图证明：

图1

《数学》中的例题则在各个“探究目标”和“探究结果”(定理)后出现，是对新定理的举例运用，及时巩固了所学知识.例题遵循“题目”加“分析”加“解答过程”的模式，在展现解题思路的同时，也反映了题目的设计意图，帮助学生形成良好的思维逻辑.

中美教科书的例题数量相当，但在分布上有所差异，具体如表2所示.

表2 《发现几何》和《数学》例题的数量与分布

表2显示，《发现几何》的例题在定理探索与综合运用上分布均衡，而《数学》较重视定理的巩固与运用.除了示范作用，《发现几何》的例题注重在综合运用中锻炼学生思维的灵活性.

(2)习题中展现的思维

中美教科书在课后习题的安排上均分层次，具体见表3和表4.

表3 《发现几何》习题的数量与分布

《发现几何》的习题分A、B、C、D这4个层次，前3个层次的习题会给出几何图形，D层习题则是数学语言结合文字表述.其中，A层习题包含一系列的小题，以判断、说理为主，以填空形式居多，涵盖的知识点较广.学生通过练习一些相似的、易混淆的题目，能更好地理解掌握知识.B、C层习题给出“框图证明”的框架，辅助学生形成解题思路.D层习题不提供图形和框图证明的框架，由学生自己解题，从数量上看，每一小节D层习题至多1题.可见，美国初等教育作业题量也比较多，部分题目分层也不明显.其中，在框图学习之前的学习中没有例题，所对应的习题仅要求根据字母顺序及图写出对应三角形即可，难度较低.

表4 《数学》习题的数量与分布

《数学》中的课堂练习与复习巩固的形式是判断说理结合证明.其中的证明题，但学生完全可以参照例题解法，难度因此下降.复习巩固亦可参照例题解答，但从“综合运用”开始，习题难度上升，难度加大，需要熟练运用新知识并用规范的数学语言解答.“拓广探索”需要更高层次的运用新知识解题的能力，在每小节中均占1～2题.总之，题目难度分层明确，数量合理，能满足基础不同的学生的需求.

3.3 学习习惯的养成

《发现几何》要求学生将每个探索发现的结果整理到自己的调查报告中，作为小结论，引导学生养成及时总结的良好习惯.《数学》的归纳总结分为“课堂归纳”和“章末小节”.其中，2处课堂归纳一是对解题方法的总结，二是要求学生总结所有的探究结果.章末小节由“本章知识结构图”和“回顾与思考”构成.“本章知识结构图”是已归纳的知识网络，“回顾与思考”是一系列基础性问题.现成的知识结构图与基础知识问题便于学生回忆巩固所学知识，构建更好的“知识网络”,但未留给学生自主完善知识网络的机会，注重“回顾”淡化“思考”.

4 总结

通过比较，可以发现，中美2国教材总体内容上大同小异，在培养目标上略有不同，在编写上也各有亮点与不足之处.美国侧重学生的多方面的素质，其中的信息素养、人文素养、学习习惯与品质等是在“全等三角形”中未能体现的，其在探究上展现了思维的广度与严谨性，也值得我们参考.但其不足之处在于基础不如我国扎实，各定理对应的例题不够，而在最后要求学生根据题目自己思考选用所学定理来解答，这在训练思维上有一定的难度跨度.其不足之处正是我国教材的特色与与优势.值得一提的是，美国在引入全等三角形条件的探索时设置了问题情境，告诉给学生探索全等三角形的必要性，激发了学习兴趣.总之，通过研究国外教材可以完善教材、提升教学质量.

[1] 塞拉.发现几何——一种归纳的方法[M].李翼忠，刘仁苏，蔡上鹤,等译.北京:人民教育出版社,2000.

[2] 唐恒钧，张维忠.中美初中几何教材“相似”内容的比较[J].数学教育学报,2005(11):55-58.

[3] 林群.数学(八年级上)[M].北京:人民教育出版社,2004.