2个不等式的推广及应用
2012-11-07
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(余姚市第八中学 浙江宁波 315430)
2个不等式的推广及应用
●唐如强
(余姚市第八中学 浙江宁波 315430)
普通高中课程标准试验教科书《数学》选修4-5“不等式选讲”中有这样2个例题:
例1如果a,b都是正数且a≠b,求证:a3+b2>a2b+ab2.
例2已知a,b为实数,求证:(a2+b2)(a4+b4)≥(a3+b3)2.
粗看起来两者没有内在联系,但对例1进行等价变形:两边同时加上a3+b3,则有
2(a3+b3)>a3+b3+a2b+ab2,
即
2(a3+b3)>(a2+b2)(a+b),
比较例2的结构易得到以下不等式链
2(a6+b6)>(a+b)(a5+b5)>(a2+b2)(a4+b4)>(a3+b3)2.
因此,猜想有以下的定理:
定理若m>0,q>0,p≥0且m>p+q,ai∈R+且i∈N+,则有
当且仅当a1=a2=…=an时取等号.
推论1若m>q>0,ai∈R+且i∈N+,则有
当且仅当a1=a2=…=an时取等号.
证明根据定理,令p=0,则
推论2若ai∈R+且i∈N+,m≥2且m∈N,则有
当且仅当a1=a2=…=an时取等号.
证明由推论1知
当ai中出现0时,可以将等于0的剔除,其他的用上面的方法可以得到证明.
例4a,b,c是正实数,且abc=1,证明:
(第37届IMO预选试题)
证明已知a,b>0且abc=1,由定理知
同理可证
故原不等式得证.
评注(1)观察上面的证明过程,第1个不等式中用了推论1,第2个不等式用了均值不等式,然后再考虑“1”的逆代换,目的是让分子、分母能消去一部分.利用同样的方法,可以推导出该不等式的一般性结果:若m,n是任意的自然数,则有
同理可证
此时n=2m+2,次数m+n=3m+2,因此,可以推得例4的一般性情况:
对于m∈N,有
(2)第26届美国数学奥林匹克(USAMO)试题:证明对于所有正实数a,b,c,有
(a3+b3+abc)-1+(b3+c3+abc)-1+(c3+a3+abc-1)≤(abc)-1.
若令abc=1,则有
注意到
显然该不等式是例4的加强,利用例4的推广形式,容易得到此不等式的一般结果:
例5设a,b,c,d∈R+,ab+bc+cd+da=1,求证:
(第31届IMO预选试题)
证明令s=a+b+c+d,则
从而
由定理可知
…
评注分析例5的证明过程,不难得到更一般性结果:
综观上面例题的应用可知,定理及推论不仅可以解决方幂和不等式的证明与最值问题,而且在证明过程中我们可以挖掘出规律,从而揭示出问题的实质,并能容易地将这些问题推广到更一般性的结果.
[1] 齐行超.利用平凡不等式证明不等式举例[J].数学通报,2006(1):52-53.