2个不等式的推广及应用

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(余姚市第八中学 浙江宁波 315430)

2个不等式的推广及应用

●唐如强

(余姚市第八中学 浙江宁波 315430)

普通高中课程标准试验教科书《数学》选修4-5“不等式选讲”中有这样2个例题：

例1如果a,b都是正数且a≠b,求证：a3+b2>a2b+ab2.

例2已知a,b为实数，求证：(a2+b2)(a4+b4)≥(a3+b3)2.

粗看起来两者没有内在联系，但对例1进行等价变形：两边同时加上a3+b3，则有

2(a3+b3)>a3+b3+a2b+ab2,

即

2(a3+b3)>(a2+b2)(a+b)，

比较例2的结构易得到以下不等式链

2(a6+b6)>(a+b)(a5+b5)>(a2+b2)(a4+b4)>(a3+b3)2.

因此，猜想有以下的定理：

定理若m>0,q>0，p≥0且m>p+q,ai∈R+且i∈N+,则有

当且仅当a1=a2=…=an时取等号.

推论1若m>q>0,ai∈R+且i∈N+,则有

当且仅当a1=a2=…=an时取等号.

证明根据定理，令p=0，则

推论2若ai∈R+且i∈N+,m≥2且m∈N,则有

当且仅当a1=a2=…=an时取等号.

证明由推论1知

当ai中出现0时，可以将等于0的剔除，其他的用上面的方法可以得到证明.

例4a,b,c是正实数，且abc=1，证明：

(第37届IMO预选试题)

证明已知a,b>0且abc=1，由定理知

同理可证

故原不等式得证.

评注(1)观察上面的证明过程，第1个不等式中用了推论1，第2个不等式用了均值不等式，然后再考虑“1”的逆代换，目的是让分子、分母能消去一部分.利用同样的方法，可以推导出该不等式的一般性结果:若m,n是任意的自然数，则有

同理可证

此时n=2m+2，次数m+n=3m+2,因此，可以推得例4的一般性情况：

对于m∈N，有

(2)第26届美国数学奥林匹克(USAMO)试题：证明对于所有正实数a,b,c，有

(a3+b3+abc)-1+(b3+c3+abc)-1+(c3+a3+abc-1)≤(abc)-1.

若令abc=1，则有

注意到

显然该不等式是例4的加强，利用例4的推广形式，容易得到此不等式的一般结果：

例5设a,b,c,d∈R+,ab+bc+cd+da=1,求证：

(第31届IMO预选试题)

证明令s=a+b+c+d,则

从而

由定理可知

…

评注分析例5的证明过程，不难得到更一般性结果：

综观上面例题的应用可知，定理及推论不仅可以解决方幂和不等式的证明与最值问题，而且在证明过程中我们可以挖掘出规律，从而揭示出问题的实质，并能容易地将这些问题推广到更一般性的结果.

[1] 齐行超．利用平凡不等式证明不等式举例[J]．数学通报，2006(1)：52-53.