立足教材 拓展能力—— 一道课本习题的探究与拓展

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(城峰中学 浙江仙居 317300)

立足教材拓展能力
—— 一道课本习题的探究与拓展

●郑冬连

(城峰中学 浙江仙居 317300)

教材是教师从事教学的依据，也是学生获得知识的主要渠道．课本上的习题，往往都具有一定的典型性．作为教师，要认真研究教材，抓住课本中的典型习题，引导学生从不同的角度思考，激活学生的思维．这不仅加强了知识的落实，更重要的是，培养了学生思维的灵活性、发散性、广阔性和批判性等．这种以知识为载体、培养能力为手段、提高思维为目标的教学方法正是新课改所倡导的理念．更重要的是这种教学方法能将学生从题海中解放出来,真正提高学生获取知识的能力．这里仅以人教版《数学》必修4第2章平面向量复习参考题B组第5题进行探索，旨在抛砖引玉．

图1

探究1例1有哪些证法？

分析要证△P1P2P3为正三角形，只需证△P1P2P3的3条边相等或△P1P2P3的3个内角相等或△P1P2P3的重心、垂心、外心、内心这4个心中有2个心重合即可．

即

又因为

同理可得

从而

∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1，

△P1OP2≌△P2OP3≌△P1OP3，

因此

故△P1P2P3为正三角形．

由方法1知

故

同理

故△P1P2P3为正三角形．

所以

方法4证明点O既是外心又是垂心.由已知得

亦即

OP2⊥P3P1，

同理可得

OP1⊥P3P2，

探究2例1能否推广或变换？

拓展1将例1中的3个向量改为4个向量，结论如何？

分析由图2知四边形P1P2P3P4不一定是正方形，但一定是矩形.

且

OM⊥P1P4，ON⊥P2P3.

△MOP4≌△OP2N，

即

∠MOP4=∠P2ON，

从而P2P4为⊙O的直径，同理P2P3也为⊙O的直径，故P1P2P3P4为矩形．

图2 图3

拓展2将例1中的向量推广为更一般的情形，结论又如何？

(1) 若推广为2n(n≥3且n∈N)个向量，显然P1P2…Pn不一定为正2n边形，如图3所示．

图4

下面以五边形为例加以说明(见图4).

证明不妨设正n边形的外接圆半径为1，建立如图5的直角坐标系，则

图5

…

…

Pn(1,0).

…

…

于是{zn}为等比数列，从而

z1+z2+…+zn=

即

故命题成立．

在教学中，可让学生对如下例2进行类似例1所示的探究和思考．

图6

探究点(1)例2有哪些证法？(2)若将3个向量改为4个向量，结论如何？推广为更一般的情形，结论又如何？(3)若将平面向量改为空间向量，有何结论？

通过一道课后习题的解剖，可见习题蕴藏着丰富的教学功能．在教学中，教师可根据学生实际，引导启发学生思维，通过探究活动，让学生体验数学的发现和创造历程，让他们勇于提出问题、解决问题，从而思维能力得到提高，学生学得轻松．高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，这些学习方式将有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．因此，在平时的教学中，教师应充分挖掘教材中的每一道习题，进行适当的引导，最大限度地发挥习题的教学功效，实现数学教学过程中增效减负的目的．