一道平面几何竞赛题的多解性讨论
2012-11-06
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(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)
一道平面几何竞赛题的多解性讨论
●凌晓锋
(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)
一道优秀的平面几何题往往可以从不同的知识层面去考查学生运用所学知识分析并解决问题的能力,2011年浙江省高中数学竞赛第21题(附加题)便是这样一道具有多解性的好题.本文将用平面几何方法、三角参量法、解析法以及面积法等4种不同的方法对其多解性展开讨论,以飨读者.
(2011年浙江省数学竞赛试题)
1 标准答案再现
作△ABC的外接圆O,然后作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,OM⊥BC于点M,则四边形AEOF即为区域G.因为
2S四边形AEOF=2S△AOE+2S△AOF=S△AOB+S△AOC，
所以
作AD⊥BC于点D,则
当且仅当点A，O，M共线时等号成立,即△ABC为等边三角形.
点评上述方法根据已知条件等价转换成面积关系,然后利用三点共线使面积取到最值,从而证明了结论.证明过程简洁明了,一气呵成,但是笔者在阅卷过程中鲜有发现学生用此类方法证明.下面笔者给出其他3种不同的证明方法.
2 三角参量法
从而
S四边形ADOE=S△AOE+S△AOD=
又因为
所以
(1)
(2)
即
从而
化简得
cos2θ=1.
因为
所以
2θ=0，
即
θ=0,
从而
即
AC=2b=2c=AB,
从而
故△ABC为等边三角形.
点评以上证法通过设参数角θ,利用已知条件的面积关系,列出三角函数方程.经过一系列三角恒等变换确定参数角θ的值,最后转而求得边长的关系,从而使命题得证.求解平面几何的问题,常引入线段、角度、面积、比值等作为参量.在引入角度参量后，往往运用三角知识,进行三角运算以及运用正弦、余弦定理等来沟通几何与三角的关系，这种求解平面几何问题的方法称为三角参量法.
图1
3 解析法
因为OE为AB的中垂线,所以
OE的解析式为
又因为D为AC的中点,所以OD的解析式为
因为
(3)
(4)
由式(3),式(4)得
化简得
b2-4bc+c2=-2bc,
即
(b-c)2=0,
从而
b=c,
即
AC=2b=2c=AB,
故
因此△ABC为等边三角形.
点评利用建立平面直角坐标系,通过数形结合的思想,求出各点的坐标,利用已知性质求得结果,这种方法思维过程较为直接,在这里有较高的使用价值.利用解析法的关键是,选择适当的坐标系，同时还要灵活利用几何图形的性质及代数、三角知识的综合运用.
4 面积法
即
从而
S△AOB+S△AOC=2S△BOC,
即
化简得 sin∠AOB+sin∠AOC=2sin∠BOC,
即
(5)
又
从而
代入式(5)得
从而
得
∠AOB-∠AOC=0,
即
故
因此△ABC为等边三角形.
点评在求解平面几何问题的时候,根据几何量与有关图形面积之间的内在联系,用面积表示有关几何量,从而把要论证的几何量之间的关系化为有关面积之间的数量关系,特别是利用面积公式,得到三角函数方程,通过三角恒等变换求解问题,使得几何证明的过程机械化,这一思想颇为重要.
通过以上讨论,笔者认为虽然平面几何这块内容学生主要是在初中阶段打下的基础,但是作为高中数学竞赛中的一块重要内容,在平时教学过程中教师可以结合高中的三角函数、解析几何、平面向量等知识的运用，去引导学生拓展思路,一题多解,从而使平面几何问题的优美性和精巧性得以充分地展现.
[1] 沈文选.平面几何证明方法全书[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005：76-84.
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