数学课堂教学的“真”、“善”、“美”

●

(义乌中学 浙江义乌 322000)

数学课堂教学的“真”、“善”、“美”

●朱恒元

(义乌中学 浙江义乌 322000)

如果说概念课强调的是基础和全面，那么习题课侧重的是重点和提高.后者教学的通常做法是罗列一些知识点和“七方八法”，让解题“对号入座”，这就容易出现“炒冷饭”、“走过场”的教学现象.其原因何在？原来是我们的课堂教学过于饱和求“真”，而没有充分展现数学问题和教学的“善”与“美”.其实，缺了“善”，学生的思维密度低，提不起精神，过早出现“高原反应”；少了“美”，学生学习兴趣弱，感到学习就是做题，容易产生“视觉疲劳”.数学的理性思维活灵活现，数学的以美启真熠熠生辉，关键是我们怎样去点击，怎样去碰撞.

笔者曾在义乌市高中数学教研活动中上过一堂“直线与圆锥曲线相切问题”的公开课.试想从这节课的教学展开，简谈数学课堂教学如何追求“真”、“善”、“美”的实践和认识.

图1

1 一堂课的教学实录

师：请同学们谈一谈解题思路.

生2：设切点为P(x0,y0)，则切线的斜率

从而求得点P的坐标.

师：生1给出的是一般性、通用性的方法；生2给出的是技巧性、灵活性的方法.

学生演算，教师巡视，一会儿请3位学生代表进行板演(把演算结果的主干部分抄录在黑板上).

生3：用方程组的通法解(这里略).

得x0=4，故P(4,-4).

师：生4、生5都利用了导数求解，但结果不同，谁是谁非呢？

生6：生5是正确的，结果也与生3一致.生4解错了，因为我们说的导数是“函数的导数”，所应用的求导公式是“y对x的求导”，因此，必须先求得y关于x的函数表达式.

师：这位同学的分析鞭辟入里，很好.虽然生5的解法是正确的，但格式的规范还可以改进.根据生6的看法，可利用导数求解这类问题，一般有“选段”、“改写”、“求导”三步曲.其中的选段，就是在曲线上选取一段，使之能成为某个函数的图像；改写，就是写出选取图像所对应的函数表达式(y关于x的函数表达式)，它是曲线方程的改变形式；求导，就是应用所学的求导公式进行“y对x的求导”.

图2

(1)求椭圆方程；

学生迅速完成第(1)小题的解答：

师：对于第(2)小题，不失一般性，不妨设点P在第一象限.同学们自己试解一下.

片刻，选2位学生代表进行板演(把演算结果的主干部分抄录在黑板上).

生7：设过点P的切线方程为

y=y0+k(x-x0)，

(1)

由条件可得此方程有2个相等的实根，故

Δ=1+4k2-(y0-kx0)2=0.

生7解题受阻.

从而

又由条件，得

于是

故

图3

生9：不失一般性，不妨选取椭圆在第一象限的部分(如图3)，则图像所对应的函数表达式为

设切点P的坐标为(x0,y0)，则

从而

于是

即

因此

师：在这里，生9的解法就有明显的优势.看来，思路、方法和技巧构成了数学解题的一个系统工程，有必要加以关注.

4）数字化资源则指的是各种慕课平台提供的资源和高校开发、建设的大量网络课程、微课、慕课等，主要为学生在课下自主学习和课程交流协作学习提供学习资源。

(1)求椭圆方程；

图4

让学生们试解，再把生10和生11的演算结果用投影仪展示出来.

解法1(1)过点A，B的直线方程为

Δ=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0)，

故

a2+4b2-4=0.

a2=4b2.

从而

解法2(1)选取椭圆在第一象限的部分，则图像所对应的函数表达式为

设切点T的坐标为(x0,y0)，则

得

从而

代入直线方程得

因此

教学片断4

生12：取线段AF2的中点为M，可得

|AT|2=|AF1|·|AM|.

师：很好！请同学们由此观察，你发现图形有哪些特点，得出什么结论？

学生的兴致很浓，你一言我一语，最后发现：△ATM与△AF1T相似(因为对应边成比例且夹角相等)，得出结果：∠ATM=∠AF1T.于是问题3的变化题也就“应运而生”了.

图5

(1)求椭圆方程；

(2)设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T.

师：刚才，我们编拟出了一道变化题，并给出了一种解答，但总觉得平面几何的味道太浓.请大家再思考一下，拿出一个最优解法来.

所以

∠ATM=∠AF1T.

师：这位同学运用倾斜角、斜率和三角函数的正切公式等知识解决了问题，思路非常清晰！

2 课堂教学的“三维目标”

2.1 真——知识在变式训练和辨析纠错中巩固

对于直线与二次函数型抛物线相切的问题1，学生平时训练有素，通法技法运用自如.但我们想“大海掀起波澜”、“乐章开始变奏”，在教学片断1变式练习中“引蛇出洞”，着重纠正对“函数的导数”概念的错误理解.通过辨析“方程的曲线”和“函数的图像”的联系与区别，使技法的“生命”得到延续，让技法的操作更程式化.我们利用导数求解这类问题，一般有“选段”、“改述”、“求导”三步曲.解题过程中让学生口述三步曲的3个关键词：“选段”、“改述”、“求导”，以给学生耳目一新的视觉冲击.

2.2 善——方法在深刻理解和理性选择中优化

教学片断3中的问题3是2006年浙江省数学高考文科试题，在解答第(1)小题时，用求导的方法并不见得好些.通过这个良好的教学载体，无非是要表明“通性通法属首选，技法巧法也要会”的教学主张.我们在教学中还进一步强化了格式的规范性和步骤的严谨性.

2.3 美——能力在返璞归真和直觉顿悟中提升

对教学片断4中问题3第(2)小题结果的再审视，它是本节课教学的重头戏.通过对结果的“求美”，我们有了一系列的教学发现，编拟出了问题3的变化题(这是2006年浙江省数学高考理科试题)，让学生享受到了成功的喜悦.在顺水推舟中，用平面几何知识解决了此题.但此时教师及时给学生“泼了盆冷水”(总觉得平面几何的味道太浓)，引导学生寻求运用倾斜角、斜率和三角函数的正切公式等知识加以解决.这可不是简单的“一题多解”，而是数学学习的“返璞归真”，让学生始终把握住解析几何的本质——用代数的方法研究几何的性质！

朱恒元，1962年生，浙江义乌人，中学高级教师.1980年参加教育工作.曾任浙江省教育厅教研室高中数学教研员，现为金华市数学会副会长兼学术委员会主任.先后在《数学通报》等报刊上发表教研文章100余篇，其中被中国人民大学书报资料中心《高中数学教与学》全文转载10篇.先后被评为(获得)金华市拔尖人才、浙江省名师首批培养人选、教育部中小学骨干教师国家级培训对象、浙江省特级教师、全国“苏步青数学教育奖”.