具有SM-基代数的右GROEBNER基理论

赵志琴

(中山大学新华学院经济与贸易系，广东广州 510520)

具有SM-基代数的右GROEBNER基理论

赵志琴

(中山大学新华学院经济与贸易系，广东广州 510520)

讨论了一类具有SM－基(Skew Multiplicative K－basis)代数的Groebner基理论，进一步探讨了这类代数模的右Groebner基理论.

SM－基;右Groebner基;凝聚基;模

Groebner基方法在实践生产和科学研究中有着极为广泛的应用.李会师教授将经典的Groebner基理论推广到更广泛的具有SM－基的代数上.文中介绍了这类具有SM－基的代数，并且给出了这类代数模的右Groebner基理论.

1 具有SM基的代数

定义1设R是一个k－代数，如果R有一个k－基B满足u，υ∈B，有u·υ=λω，或者u·υ =0，则称B是R的一个 SM－基［1］.

显而易见，这种SM－基就是结合代数中乘积基的特殊情况.这类具有SM－基的代数不仅包括有序半群代数、自由代数、交换的多项式代数、路代数，而且还包括外代数、斜多项式代数等.

设(B，≺)是代数R的一个相容体系［2］，B是R的一个SM－基，下面我们给出B中单项式的除法:

对于u，υ∈ B，如果有 ω，s∈ B和 λ∈ K*使得 υ =λωus，则称u整除υ，记为u|υ.类似地，如果有ω∈B和λ∈K*，使得υ=λωu，则称u从左边整除υ，也记为u|υ.

命题1设(B，≺)是代数R的一个相容体系，B是R的一个SM－基，B中单项式的除法具有传递性，则称代数R具有Groebner基理论.

对于任意的0≠f∈R，我们有

LM(f)=υS表示f的首单项式.

若S是R的一个子集，我们用LM(S)={LM(f)|f∈S}记S中所有元素的首项单项式的集合.令NonLM(S)=B－LM(S).

命题2设I是代数R的一个非零理想，T是 ＜LM(I)＞的一个单项式生成元集合，则有T⊂＜LM(I)＞.若G⊂I，使得LM(G)=T.即 ＜LM(G)＞=＜T＞=＜LM(I)＞，则有I=＜G＞且G为理想I的Groebner基.

2 右Groebner基

设(B，≺)是代数R的一个相容体系，B是个SM－基.令M是一个右R－模且Γ是M的一个k－基.

定义2若对每一个m∈Γ，所有的ω∈B，有mω=0或者mω =λυ，λ∈K*，υ∈B则称Γ为一个凝聚基［3］.

定义3如果≺是Γ的右相容序，则满足下面的条件:

(1)≺是一个良序;

(2)若对所有 m1，m2∈Γ，ω∈B，当m1≺m2，m1ω≠0，m2ω ≠0，则 m1ω ≺ m2ω;

(3)若对所有 m ∈ Γ，对所有 ω1，ω2∈ B，ω1≺ ω2，mω1≠0，mω2≠0，则 mω1≺ mω2.

若M是一个R－模，Γ是M的一个凝聚基，≺是Γ的右相容序，则称M在序≺下有Groebner基理论.

如果m1，m2∈Γ，若存在ω∈B，使得m2=m1ω，则称m1左整除m2.

设(Γ，≺)是M的一个相容体系，若0≠f∈R，f∈M，则

则LM(f)=mγ.类似地，有X∈M，LM(X)={LM(f)|f∈ X}，NonLM(X)= Γ － LM(X).

令N是M的右子模，我们来研究右Groebner基理论.

定义4设非零子集G⊂N，在≺序下，G称为N的右Groebner基当且仅当对所有的 f∈ N，存在 g∈ G，使得LM(g)左整除LM(f).

定理设N是M的右子模，非零集合G在序≺关系下是Groebner基，则有N=＜G＞.证明:因为G⊂N，则有 ＜G ＞⊂N.

反过来，若f∈N，有一个有限表达式

定义5设N是M的右子模，对于f∈M，f在序≺关系下的正规元，记为 N(f)，即 f=nf+N(f)，nf∈ N，N(f)∈NonLM(N).

命题3设G是N的右Groebner基，f，g∈M，在商代数可中，f+N=g+N当且仅当N(f)=N(g).

定义6设N是M的右子模，G是在序≺关系下，N的右Groebner基，则G是约化的［4］，若满足以下条件:

(1)LC(gi)=1，gi∈ G;

(2)LM(g1)|LM(g2)，g1，g2∈ G，且 g1=g2;

(3)若g∈G，则g－LM(g)模N是正规元.

若 g1，g2∈G，且LM(g1)|LM(g2)，有g1=g2，则称G是LM－约化的.容易看出:一个约化的右Groebner基是LM－约化的.

命题4设(B，≺)是代数R的一个相容体系，B是R的一个SM－基，M是一个R－模，Γ是M的一个凝聚模，N是M的右子模，则在序≺关系下，N有唯一的约化的Groebner基.

证明:首先，证明它的存在性.

从以上集合可以得到T是唯一的且LM－约化的.令G={t－LM(t)|LM(t)∈T}，则显然G是约化的Groebner基.

唯一性:假设H是另一个约化的Groebner基，若f∈N，存在g∈G，使得LM(g)左整除LM(f).取h∈H，存在某个g∈G，使得LM(g)左整除LM(h).因为H是右Groebner基，则存在某一h'∈H使LM(h')左整除LM(g)，则有LM(h')左整除LM(h)，但H是LM－约化的，有

且h，g∈N，h－g∈N.所以h－g=0，即H⊆G.同理，有G⊆H.

推论:设T={LM(t)∈LM(N)|不存在 LM(t')∈LM(N)真左整除LM(t)}，若G⊆N，使得T=LM(G)，则在序≺关系下，G是N的右Groebner基.

证明:由已知T=LM(G)，且G⊆N，所以T⊆LM(N).f∈ N 且 f≠0，则

根据右Groebner基的定义知，G是N的右Groebner基.

［1］Li H.Looking for Groebner basis theory for almost skew 2－nomial algebras［J］.Journal of Symbolic Computation，2010，(9):918－942.

［2］Kandri－Rody A，Weispfening V.Non－commutative Gröbner bases in algebras of solvable type［J］.Journal of Symbolic Computation，1990，(1):1 －26.

［3］ Green E L.Multiplicative bases，Gröbner bases，and right Gröbner bases［J］.Journal of Symbolic Computation，2000，(4):601 － 623.

［4］何青.计算代数［M］.北京:北京师范大学出版社，1997.

O154.3

A

1008－4681(2012)02－0006－02

2011－12－26

赵志琴(1983－)，女，山西大同人，中山大学新华学院经济与贸易系助教，硕士.研究方向:计算代数.

(责任编校:晴川)