P-CS模的遗传性＊

徐小敏， 陈淼森

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

近年来，关于一些广义CS模［1-2］的讨论一直是热点研究之一．Smith在文献［3］中曾经提出了2个问题:一是弱CS模的直和项是弱CS吗?二是CS模的直和项是弱CS模吗?关于CS模［4-5］，第1 个问题是成立的．对于P-CS模［6］，文献［6-7］在讨论这2个问题时加了一定的条件．其他有关CS模的信息，可参阅文献［8-10］．在以上这些研究的基础上，本文就这2个问题进行了讨论，并给出了其结论成立的条件:1)若M=M1⊕M2，M满足C2条件，则M是P-CS模当且仅当M1，M2均是P-CS模;2)若M=M1⊕M2，M 满足 C3条件，则 M的直和项也是P-CS模．进而讨论了P-CS模对一般子模的遗传性，最后利用内射包，得到了一些很好的等价条件:设M是P-CS模，N是M的直和项，N是内射模，则N也是P-CS模．若M的任何循环子模C都是内射的，则有以下结论成立:1)M是P-CS模当且仅当C是M的直和项;2)M是PCS模当且仅当M的任意直和项N都是P-CS模．

为方便讨论，特约定:文中涉及的环均指有单位元的结合环，模指左R-模，N≤M表示N是M的子模，N◁M表示N是M的本质子模，E(S)表示模S的内射包．

1 基本概念

定义1［5］M是CS模，当且仅当M 的任意子模都是其直和项的本质子模．

定义2［6］设M是左R-模，称M是P-CS模，若M的任意循环子模都是M某一直和项的本质子模．

显然，若M是CS模，则M一定是P-CS模．

模M满足C2条件:若M的子模N同构于M的直和项，则N是M的直和项．

模M满足C3条件:若M1，M2是M的直和项且M1∩M2=0，则M1⊕M2也是M的直和项．

2 主要结论

定理1 设M=M1⊕M2，且M是满足C2条件的P-CS模，则M1，M2均是P-CS模．

证明 设 C是 M2的任一循环子模，则C∩M1=0且C也是M的循环子模，所以C是M的直和项 N的本质子模．若 N∩M1≠0，则C∩N∩M1=C∩M1，得到矛盾，即 N∩M1=0．于是存在M的子模S同构于M2，使得N≤S，由M

若 M=S⊕X，则对于 g:S⊕X→S，Ker g=X=M1．又因为N是M的直和项，S是M的直和项，N≤S，所以N是S的直和项．因此，N同构于M2的一个直和项N'，则C是 N'的本质子模，即C是M2某一直和项N'的本质子模，M2是P-CS模．同理，M1是P-CS模．定理1证毕．

推论1 设M=M1⊕M2，且M满足C2条件，则以下陈述等价:

1)M2是P-CS模;

2)对M的满足C∩M1=0的循环子模C都是M直和项的本质子模．

证明 1)⇒2) 若 C∩M1=0，则 C≤S．因此，S是M的子模同构于M2，S是M的直和项且是P-CS模．所以，C是S某一直和项的本质子模，也是M直和项的本质子模．

2)⇒1) 对 M2的任一循环子模 C，有C∩M1=0，因此，C是M直和项N的本质子模．而N∩M1=0，于是存在M的子模S同构于M2，使得N≤S且M=M1⊕S，N是S的直和项，所以N同构于M2的一个直和项N'．因此，C是N'的本质子模，即M2是P-CS模．推论1证毕．

定理2 设M=M1⊕M2，且M满足C2条件，M1，M2均是P-CS模，则M是P-CS模．

证明 设C是M的任一循环子模，下面分2种情况讨论．

1)若C∩M1=0，则存在M的子模S同构于M2且C≤S．因此，S也是P-CS模且C是 S某一直和项的本质子模．由 M满足 C2条件知M=M1⊕S，故C也是M某一直和项的本质子模，即M是P-CS模．

2)若 C∩M1≠0，设 C'是 C的使得 C=(C∩M1)⊕C'的子模，C'∩M1=0．因为 C∩M1是M1的循环子模，所以C∩M1是M1的直和项K1的本质子模．其中，M1=K1⊕K2．另一方面，因为C'∩M1=0，所以存在M的直和项S同构于M2且C'≤S，M=M1⊕S，S=S1⊕S2．其中，C'是 S1的本质子模．于是 M=M1⊕S=K1⊕K2⊕S1⊕S2，即C=(C∩M1)⊕C'是M的直和项K1⊕S1的本质子模，M是P-CS模．定理2证毕．

定理1和定理2给出了P-CS模对其直和与直和项保持遗传性成立的充要条件，这个结论对有限直和也同样成立，因此有推论2．

推论2 设 M= ⊕i∈IMi，且 M 满足 C2条件，则以下陈述等价:

1)M是P-CS模;

2)Mi均是 P-CS 模(∀i∈I)．

下面讨论在一定条件下，P-CS模对其直和项具有遗传性．

定理3 若M是满足C3条件的P-CS模，则M的直和项也是P-CS模．

证明 设M1是M的直和项，则存在M的子模 M2，使得 M=M1⊕M2．下证 M1是 P-CS模．

取M1的循环子模C，则C∩M2=0且C也是M的循环子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和项N，使得C◁N且N∩M2=0．因为模M满足C3条件，所以 N⊕M2为 M的直和项．令Π:M1⊕M2→M1，则 N⊕M2= Π(N)⊕M2，所以Π(N)为 M的直和项．因为 Π (N)≤M1，所以Π(N)也是M1的直和项．又因为C◁N，所以C=Π(C)◁Π(N)，从而M1也是P-CS模．定理3证毕．

定理4 设M是P-CS模，N是M的直和项．若对N的任何循环子模C都有E(C)≤N，则N也是P-CS模．

证明 设C是N的循环子模，则C也是M的循环子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和项 M1，使得 C◁M1，从而 E(C)=E(M1)．又M1◁E(M1)=E(C)≤N，所以M1也是N的直和项，从而N也是P-CS模．定理4证毕．

下面讨论P-CS模对一般子模的遗传性．

定理5 设M是P-CS模，X是M的子模．若X与M的任何直和项的交都是X的某个直和项的本质子模，则X是P-CS模．

证明 设C是X的循环子模，则C也是M的循环子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和项M1，使得C◁M1．又已知存在 X的直和项X'，使(X ∩M1)◁X'，所以

因此X也是P-CS模．定理5证毕．

称模M为分配模，如果M的子模格是分配格．

定理6 设M是P-CS模，且M是分配模，则M的任意子模都是P-CS模．

证明 设N≤M，且C是N的循环子模，则C也是M的循环子模．由于M是P-CS模，所以存在M 的直和项 M1，使得 C◁M1，故 C◁N∩M1．而 M是分配模，所以N∩M1是N的直和项，则N是PCS模．定理6证毕．

由于每个模都可以嵌入到每个内射模中(即它的内射包)，非常自然地会考虑:如何利用内射包来讨论模的P-CS条件．由于内射模的内射包是其本身，所以有以下推论:

推论3 设M是P-CS模，且N是M的直和项，N是内射模，则N也是P-CS模．

定理7 若M的任何循环子模C都是内射的，则以下陈述等价:

1)M是P-CS模;

2)C是M的直和项．

证明 2)⇒1) 由C的任意性可得．

1)⇒2) 由于M是P-CS模，所以存在M的直和项N，使得C◁N，因此，E(N)=E(C)=C≤N．于是N=E(N)=C，即C是M的直和项．定理7证毕．

定理8 若M的任何循环子模C都是内射的，则以下陈述等价:

1)M是P-CS模;

2)M的任意直和项N都是P-CS模．

证明 2)⇒1) 当N=M时显然成立．

1)⇒2) 设C是N的任意循环子模，则C也是M的循环子模．由定理7知，C是M的直和项．又N也是M的直和项，且C≤N，所以C是N的直和项，从而N是P-CS模．定理8证毕．

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