幂函数剖面薄圆环振子的扭转振动特性＊

苏 超， 刘世清， 王家涛

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

幂函数剖面薄圆环振子的扭转振动特性＊

苏 超， 刘世清， 王家涛

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

对剖面厚度按幂函数变化的薄圆环振子的扭转振动进行了理论分析，导出了其等效电路;进而由等效电路得出了扭转振动频率方程及共振频率表达式;探讨了环形振子第1、第2阶共振频率及角位移放大系数与其半径比的关系;给出了薄圆环振子第1、第2阶共振频率及放大系数与其半径比的拟合关系曲线.通过有限元(FEM)模态的分析，表明理论结果与FEM仿真结果吻合，对环形扭转振子的工程设计具有参考价值.

圆环振子;超声扭转振动;等效电路;振动系统;振动模态

1 n次幂剖面环形振子扭转振动分析

图1 幂函数剖面环形振子示意图

设图1所示为幂函数剖面环形振子的示意图，平均厚度远远小于其半径，即为薄圆环，厚度方向振动可忽略，而只认为做平面径向运动.设内半径为b，外半径为a，厚度随半径变化的函数为h(r)=h0rn，h0为常数，以Ma，Mb分别表示环形振子外侧、内侧辐射面的外力矩，φa，φb分别表示环形振子外侧、内侧辐射面质点的扭转振动角位移.对于任意径向变厚度薄圆盘(环)的平面切应力问题，由文献［7］知，在简谐振动情形下，其扭转振动的微分方程为

切向力的函数表达式为

式(2)中：φ(r)表示扭转振动角位移;ω为扭转振动角频率;h(r)为圆盘或环的厚度沿径向变化函数;为材料剪切模量;E为杨氏模量;σ为泊松系数.

本文研究的薄圆环的厚度沿半径变化的规律为h(r)=h0rn，h0为常数，代入式(1)可得幂函数型薄圆盘的平面扭转振动波动方程

式(3)中：kt=ω/ct为薄圆环扭转振动波数;为扭转波速.考虑到圆环作简谐扭转振动，引入时间项，由式(3)可得弹性薄圆环的平面扭转振动波动方程的通解，可表示为如下形式：

式(4)即为作轴对称平面简谐扭转振动的弹性薄圆环或弹性薄圆盘的振动方程，其中：

式(5)～式(6)中：m=(2+n)/2;Jm(ktr)和Ym(ktr)为非整数m阶的第1类和第2类贝塞尔函数

式(7)中：

2 角位移振幅放大系数和位移节圆位置

对于边界自由的幂指数型剖面薄圆环，设其内表面质点的角位移振幅为φb，辐射面切应力等于0，则有边界条件

由角位移表达式(4)和切应力表达式(7)并结合边界条件(10)，且略去时间项后，得到关于待定系数C，D的方程组

由式(10)可解出待定系数C，D的表达式分别如下：

将式(12)与式(13)代入式(4)并忽略时间项后得到角位移分布函数为

对于角位移节圆(即角位移始终为零的位置构成的圆环)，有φ(r)=0，则

由频率方程求得了幂函数剖面薄圆环平面扭转振动的共振频率后，利用式(15)可确定其扭转振动位移节圆的位置，位移节圆处角位移始终为零，因此可以作为支撑整个振子的位置.

设当r=a时，φ=φa，由此得扭转角位移放大系数为

同样，用频率方程求出了幂函数剖面薄圆环平面扭转振动的共振频率后，利用式(16)可确定其平面扭转振动时圆环内外表面的角位移振幅放大倍数.

3 机电等效电路及频率方程

力矩表达式为

可进一步简化为

其中：

式(22)～式(23)中：z0a=ρctSa，z0b=ρctSb为扭转特性力阻抗.由机电类比原理知，式(20)～式(21)可用图2的T型网络描述，即

从图2的机电类比等效电路可得到频率方程，考虑自由扭转振动的情况，即辐射面无负载，此时相当于图2等效电路两端机械短路，即由此得输入阻抗为

将式(24)～式(26)代入式(27)，并由机械共振条件——阻抗虚部等于0，得到振子共振频率方程为

幂函数剖面环形振子扭转振动的振动频率方程(28)是一个含有非整数阶m的第1类和第2类贝塞尔函数的复杂超越方程，其共振频率决定于振子的几何参数、材料特性以及相应的振动阶次.

图2 幂函数剖面环形振子扭转振动机电等效电路图

4 数值计算及有限元分析

以常用的45号钢材料环形振子为例进行数值计算，剖面高度变化函数为h(r)=2rn，取n=0，1，2进行对比计算，材料特性参数为ρ=7 800 kg/m2，泊松系数σ=0.28，杨氏模量E=209 GPa.振子外径为2a=100 mm保持不变，改变内半径b的值，计算中引入λ=b/a.选取ANSYS单元库中的SOLID45结构单元，采用扫掠网格对实体模型进行网格划分，并采用计算精度高、速度快的分块Lanczos法对振子进行模态提取.当幂指数n=2时，外边缘高度为5 mm，有限元仿真得到圆环振子的第1阶和第2阶扭转共振模态如图3、图4所示.

图3 振子1阶扭转振动模态图(n=2)

图4 振子2阶扭转振动模态图(n=2)

图5、图6分别为幂指数n=0，1，2这3种剖面环形振子(n=0时为厚度不变的薄圆环振子，n=1时为锥形薄圆环振子)的第1阶和第2阶扭转共振频率与其内外半径关系比的关系.从中可以看到：理论结果与有限元结果吻合良好.当半径比相同时，随着幂指数n的增加，基频共振频率和第2阶扭转共振频率均增大，但增大幅度不明显，尤其是半径比较大时，薄圆环振子的扭转共振频率几乎相同，不受n的影响，这与该薄圆环的径向共振频率规律不同［9］;随着半径比的增大，第1阶和第2阶扭转共振频率均趋于无穷，即薄壁圆环弹性振子无扭转共振模态.

图5 基频扭转共振频率与半径比关系

图6 第2阶扭转共振频率与半径比关系

图7 第1阶共振扭转角位移放大系数与半径比关系

图8 第2阶共振扭转角位移放大系数与半径比关系

图7、图8分别为幂指数n=0，1，2这3种剖面环形振子的角位移振幅放大系数与内外半径比的关系.从中可以看出：在半径比相同时，随着幂指数n的不断增加，角位移振幅放大倍数也不断增加;n不变时，随着半径比的不断增加，角位移放大倍数越来越小，逐渐趋近于1，即薄壁圆环无扭转放大作用.

5 结论

1)建立了厚度按n次幂函数变化的环形超声振子扭转振动机电类比等效电路，从等效电路得出了圆环振子的扭转振动频率方程，并得出了聚能器的角位移振幅放大系数计算式和位移节圆计算式;给出了n=0，1，2时薄圆环扭转振动频率、放大系数与内外半径比的关系曲线，并利用有限元软件对薄圆环扭转振动模态进行了分析，理论与有限元仿真结果吻合良好.

2)幂函数剖面薄圆盘振子扭转振动的共振频率、角位移放大系数与内外半径比有关，与振子的厚度无关.

3)第1阶和第2阶扭转振动频率均随着内外半径比的增大而增大，内外半径趋于一致时，均无扭转振动谐频，此结论可推广至其他剖面形状的环形振子.

4)剖面厚度幂指数n越高，环形聚能器的角位移放大系数越大，2阶扭转共振比基频具有更大的角位移振幅放大系数，当内外半径趋于相等时，圆环无振幅放大作用.

5)对于由若干单一环形振子沿径向级联构成的复合换能器系统，利用各接触面上力与振速连续的边界条件，即可得到复合振动系统的集成等效电路，通过电路分析法可得出频率方程.

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An annular ultrasonic resonator with power function profile and FEM simulation for its torsional vibration

SU Chao， LIU Shiqing， WANG Jiatao

(College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004，China)

The torsional vibration of thin annular resonator with power function profile was studied and the equivalent circuit was derived，the resonance frequency equation and the resonance frequency were obtained.By means of the numerical methods，the relationships between resonance frequencies，torsional displacement amplitude magnification coefficient of the resonator at the first and second order vibration modal and their radii were analyzed.Verified by FEM，it was showed that the theoretical values basically agreed with the simulation results of FEM，which suggested some helpful rules for the engineering designs and calculations of annular torsional resonator.

annular resonator;ultrasonic torsional vibration;equivalent circuit;vibration system;vibration mode

O4261

A

0 引言

2011-12-19

国家自然科学基金资助项目(11074222);浙江师范大学研究生创新科研项目(ZC316011063)

苏 超(1986－)，男，河北石家庄人，硕士研究生.研究方向：声学.

刘世清.E-mail：shiqingliu@zjnu.cn

1001-5051(2012)03-0284-06

(责任编辑 杜利民)

在功率超声领域，需要设计各种不同形状和振动模式的弹性振子，以满足不同应用场合的需要，如超声加工应用中常利用杆形超声变幅器来实现振动位移的放大及机械阻抗的变换［1-3］;而弹性圆形、矩形板或壳常被用作换能器的辐射器件，以增大换能器的辐射面积，从而改善换能器的阻抗匹配，便于其广泛应用于超声清洗等领域.文献［4-7］研究了几种典型的厚度变化圆盘轴对称径向及扭转振动情形，研究方法为解析法或数值法，求解过程比较复杂.而在功率超声技术应用中，利用等效电路分析弹性振子的共振频率较为方便.文献［8］讨论了等厚度薄圆环振子扭转振动的振动特性.文献［9-10］讨论了弹性薄圆盘振子径向振动的振动特性.本文对厚度按幂函数变化的薄圆环的扭转振动进行了研究，导出了扭转振动的等效电路，推导出其角位移振幅放大系数及位移节圆方程，得到了频率方程，并对振子的基频及第2阶扭转振动特性进行了有限元分析与验证.