无穷格子系统的新型周期行波解＊

2012-10-27沈自飞

浙江师范大学学报（自然科学版） 2012年3期

关键词：行波临界点质点

花杰，沈自飞

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

无穷格子系统的新型周期行波解＊

花杰，沈自飞

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

研究了无穷格子系统

周期行波解的存在性.其中：q(n)=q(n，t)是第n个质点在t时刻的坐标;f表示质点的位势函数;V表示相邻2个质点间的相互作用函数.应用山路定理和环绕定理，获得了该系统新型周期行波解的存在性定理.

无穷维哈密顿系统;行波;周期运动;山路定理;环绕定理

0 引言

考虑一维格子系统

式(1)中：q(n)=q(n，t)是第n个质点在t时刻的坐标;f表示质点的位势函数;V表示相邻2个质点间的相互作用函数，且 f，V∈C1(R).当 f≡0时，方程(1)即为著名的 Fermi-Pasta-Ulam(FPU)格子;当f(x)=K(1－cos x)时，方程(1)又称为Frenkel-Kontorova模型.

方程(1)是一个无穷维哈密顿系统，其哈密顿函数为

Fermi等［1］首先对格子系统进行了研究，他们通过数值模拟的方法研究了有限维格子系统的质点运动.运用临界点理论研究格子系统已成为当今的主流研究方法，第1个非常有意义的结果来自于Friesecke等［2］，他们在FPU格子系统上通过极小化动能的方法，证明了行波解的全局存在性.Smets等［3］运用一种不同于文献［2］的方法获得了速度确定的行波解.

FPU格子系统还包括振荡链，这方面的主要结果见文献［4-6］.格子系统的最新研究结果来自于Percy［7］，他通过临界点理论证明了无穷格子系统非常值周期行波解的存在性，并得到了调和行波解的存在性.本文的目的是在与文献［7］相类似的条件下，分别应用山路定理和环绕定理获得格子系统(1)新型周期行波解的存在性定理;优化了文献［7］中所得的周期行波解，使得行波解是非负的;且在参数ω＞0的情况下，同样能得到非常值的周期行波解.

方程(1)行波解的形式为

式(2)中，c表示行波的速度.

引入算子A，定义为

将式(2)代入式(1)得到2阶常微分方程

由变分理论知，方程(3)的解即为其对应变分泛函在相应空间的临界点.而方程(3)对应的变分泛函为

其中，κ⊂R.当J满足Palais-Smale紧性条件(即PS条件)时，通过山路定理或环绕定理可找到J的临界点.

本文假设位势函数f，V满足以下条件：

且非二次部分h∈{g，w}满足：

(A.1)h∈C1(R)，h(0)=h'(0)=0 且当 x→0 时，有 h(x)=o(x2);

(A.2)存在 x0＞0，θ＞2，使得当 h(x0) ＞0，x≥|x0|时，有0≤θh(x)≤xh'(x).

化简条件(A.2)可知，存在 a0，a1＞0，θ＞2，有

(A.3)h(x)≥a0|x|θ－a1，x∈R.

现考虑

显然，要使 δ(ω，α)非空，则需 ω≥0.令 δ0：R ×［0，∞)→［0，∞)，δ0(ω，α)：=inf δ(ω，α).

本文的主要结果是以下2个定理：

定理1在空间上，如果条件(A.0)，(A.1)，(A.2)成立，那么对任意的 T ＞0，c＞c0，方程(3)存在一个非负的周期行波解.

定理2在空间上，如果条件(A.0)，(A.1)，(A.3)成立，那么对任意的 T ＞0，c＞c0，方程(3)存在一个非常值的周期行波解.

1 预备知识

引理1［7］算子A为线性有界算子，将映射到∩，且满足

式(4)中，

［η］代表η的整数部分.

引理2［3］算子 A：H1→L∞∩L2是线性有界算子，且

令I是一个紧区间，由Sobolev嵌入定理知，存在一个正常数c，使得

且H1(I)↺C(I)，H1(I)↺L2(I)是紧嵌入.为了证明定理1，需要下面的山路定理：

定理3［8］(山路定理) 设X是一Banach空间，φ是一C1泛函且满足PS条件，假设存在e∈X，r＞0，使得‖e‖ ＞r且

令

其中

则b是φ的一个临界点，且 b≥β.

山路定理的一种变形为：

定理4［9］在定理3的条件下，令P：X→X为一个连续映射，使得

还需要下面命题：

命题1［7］设h∈C1(R)，I是一个紧区间，定义泛函：H1(R) →R= ∫h(u)du，则∈C1且I其微分为(u)ξ=〈h'(u)，ξ〉L2(I)，∀u，ξ∈H1(R).

命题 2［7］若 V，f满足定理 1 的条件，则 J∈C1(，R)，且对所有的 u，ξ∈，有

且JT的临界点即为方程(3)的经典解.

为了方便，将JT写成

其中：BT(u，v)=容易验证，在空间上，BT是双线性的对称有界泛函，因此u|→BT(u，u)是C1(事实上是C∞)的.注意到算子A在上是线性有界的，于是根据命题1，有GT，∈C1(，R).

注1通过 Fourier分析可知，当 α∈R，ω ＞0，c＞c0时，存在正常数 υ0，υ1(依赖于 α，ω，c)，使得

事实上，υ0和υ1是下述函数的下确界和上确界：

引理3在定理1的条件下，存在δ＞0，ρ＞0，当=ρ时，有 JT(u) ＞ δ.此外，存在 eT∈，使得＞ρ且JT(eT)≤0.

证明由条件(A.1)知，对给定的 ε ＞0，存在 ρ＞0，使得|h(x)|≤εx2，|x|≤ρ.若≤ρ，则由式(4)得‖Au‖L∞≤ρ，且

选择足够小的ε，即知引理3的前半部分成立.

为了构造函数eT，首先选择v∈PH1T，使得在［0，T］中v(t)不恒等于零，则由条件(A.3)得

由θ＞2知，当η→+∞ 时，有JT(ηv)→－∞.于是令eT=η0v，满足JT(eT)≤0，便有＞ρ.引理3证毕.

引理4假设条件(A.0)，(A.1)，(A.2)成立，则当c＞c0时，泛函JT满足PS条件.

证明首先验证JT的PS序列有界，然后证明此PS序列的紧性.

设 un∈是 JT的一个 PS序列，即存在 M ＞0，n0＞0，当 n≥n0时，有

由条件(A.2)和式(5)有

因此，υ0(θ－2)≤2θM.由于θ＞2，所以序列{un}在空间上是有界的.

由PS序列{un}的有界性知，在空间上存在一子序列，仍记为{un}，使得un⇀u，则由引理1知，在空间∩上有Aun⇀Au，且由Sobolev嵌入定理有

2 定理的证明

于是

又由条件(A.3)知位势函数g(x)，V(x)在R上是不减的，因此

由定理4知，JT有一个非平凡的临界点uT∈.事实上，uT是方程(3)的非负周期行波解.定理1证毕.

注2定理1所得的解有可能是常值函数，如果令ω=0，类似文献［7］中所用的方法，在相似的条件下，就可以得到不是常值函数的非负解.

定理2的证明下面运用环绕定理完成定理2的证明，即验证泛函JT(u)具有环绕几何性质，且满足PS条件.

首先定义一个环绕结构，令

其中：

令 r＞ ρ＞0，z∈E⊥，使得‖z‖= ρ，定义

则

用QT表示泛函JT的二次部分，有

易知

于是

由定理2的条件和引理3知，对∀u∈S和足够小的ρ＞0，有JT(u)≥δ＞0.

下面证明在∂M上有JT(u)≤0.事实上，当u∈∂M时，如果‖u‖=r，λ≥0，那么由条件(A.3)和

式(5)知

因为r2=‖y+λz‖=‖y‖+ λ2ρ2，所以 λ2≤而在有限维空间上，所有范数都是等价的，因此存在常数 c0＞ 0，使得 ‖y+ λz‖Lθ≥ c0‖y+ λz‖=c0r.于是存在常数c1＞0，使得

由于θ＞2，所以当r充分大时，式(6)的右边部分是负的，即JT(y+λz)≤0.当 u∈∂M时，若‖u‖≤r，λ =0，则 u=y∈E，从而

由于θ＞2，选取适当大的ζ，有JT(u)≤0，所以泛函 JT具有环绕几何性质.由引理4知，泛函JT满足PS条件.令

其中

由环绕定理知，b是泛函JT的一个临界值，且相对应的临界点u∈M，于是当λ＞0时，即可得到非常值的周期行波解.定理2证毕.

［1］Fermi E.Collected papers［M］.Chicago：University of Chicago Press，1965：978.

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［8］Rabinowitz P H.Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations［M］.New York：American Mathematical Society，1986.

［9］Berestycki H，Cpuzzo-Dolcetta I，Nirenberg L.Variational methods for indefinite suplinear homegeneous elliptic problems［J］.Nonlinear Differential Equations and Applications，1995，2(4)：553-572.

New type periodic travelling wave solutions of the infinite lattice systems

HUA Jie，SHE Zifei

(College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004，China)

It was focused on the infinite lattice systems

where q(n)=q(n，t)denoted the coordinate of n-th particle at time t，f a potential function and V the potential of interaction between n-th and(n－1)-th particles.The existence of new type periodic travelling wave solutions was established by mountain pass theorem and link theorem.

infinite dimensional Hamiltonian systems;travelling waves;periodic motion;mountain pass theorem;link theorem