解排列组合应用题的思维方法

李凤霞

（鞍山师范学院附属卫生学校，辽宁 鞍山 114003）

解排列组合应用题的思维方法

李凤霞

（鞍山师范学院附属卫生学校，辽宁 鞍山 114003）

排列组合问题是历年高考的必考题，它联系实际、生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。因此，掌握常见的排列组合应用问题的解法是很有必要的。

元素；排列组合；应用题；思维方法

1 相邻问题捆绑法

有些排列组合问题中，要求某些元素必须相邻，对这类问题解题的常用方法是：先将这些特殊元素捆绑成一个整体，即视为一个元素，与其他元素进行排列或组合，再考虑捆绑的元素如何排列或组合，从而达到求解的目的。

例1：A、B、C、D、E 5个人并排站成一排，如果A、B两人必须相邻，且B在A的右边，那么不同的排法有多少种？

分析：由于A、B两人必须相邻，所以将A、B两元素捆绑在一起视为一个元素，则本题相当于4人全排列，又因为B在A的右边，所以共有=24种不同的排法。

2 相离问题插空法

有些排列组合问题中，要求某些元素互不相邻，对这类问题解题的常用方法是：先将其余元素进行全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

例2：联欢会上要演出4个歌唱节目和3个舞蹈节目，如果舞蹈节目不能连排，那么有几种排节目的方法？

3 定序问题缩倍法

在排列组合问题中，若要求某些元素必须有一定的顺序，对于这类问题求解的常用方法是缩倍法，即所有元素的全排列除以受限制条件元素的全排列。

例3：信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上来表示信号，现有3面红旗，2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示多少种不同的信号？

4 标号排位问题分步法

有些排列组合问题中，要求元素排列到指定号码的位置上，对这类问题解题的常用方法是：先把这些元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可达到要求。

例4：同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送来的贺卡，则4张贺卡有多少种不同的分配方式？

分析：此题可以看成是将数字 1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的4个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有C13种填法，第二步把被填入方格的对应数字填入其他3个方格里，又有C13种填法，第三步将余下的两个数字填入剩下的两格里只有1种填法，则4张贺卡共有3×3×1=9种不同的分配方式。

5 有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，分别分配到不同的位置上，对于这类问题的常用解法是：先将元素逐一分组，然后再进行全排列，但在分组时要注意是否均匀分组。

例5：有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，要求每校分配1名医生和2名护士，共有多少种不同的分配方法？

6 多元问题分类法

有些排列组合问题元素多，取出的情况也有多种，对于这类问题常用的处理方法是：先按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，再计算总和。

例6：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？

7 交叉问题集合法

有些排列组合问题中，符合各个条件的几部分有交集，这类问题常用的解法是用集合元素个数的公式：n（AYB）=n（A）=n（B）-n（AIB）来求解。

例7：从6名运动员中选出4人参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？

8 定位问题优选法

对于某些元素要排在指定位置上的问题求解方法是：先排这些特定的元素，再考虑其余元素。

例8：计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，要求排成一行来陈列，其中同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，共有多少种不同的陈列方式？

分析：先把3个品种的画看成整体，而水彩画不放在两端，故只能放在中间，所以油画和国画有种放法，再考虑油画和国画本身可以全排列，所以共有种不同的陈列方式。

9 至少（至多）问题间接法

有些排列组合问题中，常含有某些元素至少或至多问题，这类问题的常用解法是采取间接的方法，即先不考虑条件求出总数，再减去所求问题的反面所包含的数。

例9：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有多少种？

分析：由于两种型号电视机至少各一台的反面是只取一种型号，故有C39-C34-C35=70种不同的取法。

10 选排问题先取后排法

有些排列组合问题，要求先分组后排列，对于这类问题求解的方法是先组合后排列。

例10：4个不同的球放入编号1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

11 部分符合条件问题排除法

有些排列组合问题中，只有一小部分符合条件，对于这类问题求解的方法是先求出总体的数，再排除不符合条件的数，即可达到求解。

例11：以正方体的顶点作为棱锥的顶点，可作多少个三棱锥？

G420

A

1671-1246（2012）10-0085-02