晚清中算家对《重学》中抛射运动知识的数学解读

高红成

(天津师范大学数学科学学院，天津 300387)

晚清中算家对《重学》中抛射运动知识的数学解读

高红成

(天津师范大学数学科学学院，天津 300387)

《重学》中的抛射运动知识在晚清引起了极大关注。先是李善兰《火器真诀》(1859)运用圆的知识对部分知识进行图解解读，之后四十多年时间里有十多位数学家对《火器真诀》进行再解读，使得这部分知识得到了较为广泛的传播。中算家们大都是抛开抛物线知识讨论抛射运动，他们的解读是基于自己和受众的知识构成进行的。洋务运动这一特定的社会历史背景使得抛射运动知识的传播更为广泛和深入。

抛射运动知识 传播 知识构成

《重学》是晚清第一部较为系统介绍西方经典力学的中文译著，大约于1852年至1855年由李善兰(1811～1882)与艾约瑟(Joseph Edkins，1823～1905)翻译完成，初版(17卷)于1859年在墨海书馆刊行。［1］此版底本系英国物理学家胡威立(William Whewell，1794 ～1866)《力学基础》的第五版(An Elementary Treatise on Mechanics，1836)。［2—4］该书第11卷“论抛物之理”介绍了7款有关抛射运动的命题。就是这几个定量描述枪炮子弹运行规律的命题，在当时特定的历史背景下，引起了国人异常关注。其中，引人注目的是，有十几位中算家相继著书对这部分知识进行了解读。这当中，以李善兰的《火器真诀》(1859)影响最大。刘钝《别具一格的图解法弹道学》［5］一文曾对《火器真诀》的内容和历史意义进行了深刻论述，指出该书是我国第一部具有精密科学意义的弹道学著作，李氏的图解法是他创造性学习西方科学知识的成果。因该文着重讨论李氏的成果，所以对其他中算家的后续解读著作没有深究。本文在前人的研究基础上，结合近年来有关《重学》的研究成果，立足于原始文献，从知识传播的角度对《重学》卷11、《火器真诀》以及后续解读著作予以分析，讨论晚清中算家在抛射运动知识的传播过程中所起的作用，并以此作为案例探讨当时西学东渐的一些特点。

1 《重学》中的抛射运动知识——问题的提出

图1 抛射运动示意图

《重学》①本文所引《重学》为同治五年(1866)金陵书局本，共20卷附《圆锥曲线说》3卷。此本为初版(17卷)的增刻本，增加了第18～20卷(流体力学)和附卷(圆锥曲线)等内容。［1］［6］第11卷专论抛射运动，共7款，最后配有6个例题。每款先是给出结论，然后证明。如图1，AX为平面，AI为斜面，倾角为 θ②由下向上抛射(仰击)时记θ＞0，由上向下抛射(俯击)时记θ＜0，两种情况作图本质一样，为节省篇幅，本文作图时只考虑θ＞0的情况。。子弹从A点发射，初速度为v，发射角为α，重力加速度为g。曲线AVB为子弹轨迹，P为轨迹上任一点，其竖直高度为y，水平距离为x，对应的时间为t。设平面射程AB为s，斜面射程AI为s'，相应最大射程分别记为smax与s'max，最大射程发射角均记为α0。h为子弹竖直发射达到的最大高度，有各款简介如下。

第1款给出平面射程算法

并推导出P点竖直高度和水平距离的算法

第2款给出斜面射程算法

第3款给出平面和斜面两种情形的最大射程算法

第4款给出式(1)～(3)用h表达的算法，如s=2hsin 2α等。

第5款证明轨迹曲线为抛物线。TP垂直于平面AX，T在速度切线AT上，则有

由此证明轨迹曲线AVB为抛物线，通径等于4h。

第6款给出轨迹曲线的解析方程。以A点为原点，AX为横轴，AY为纵轴建立坐标系，轨迹方程为：

需要指出的是，由式(b)证明曲线轨迹为抛物线的数学基础在卷11中没有说明，整个《重学》也没有。大约7年之后的金陵版《重学》(1866)所附的《圆锥曲线说》卷3“抛物线”第8款倒是可以作为依据。该书学界一般认为是为解释《重学》的数学内容而译，所据底本不详。式(c)虽然也可以证明曲线轨迹为抛物线，但其数学基础当时只能在《代微积拾级》(1859)中找到。

第7款给出平面情形时最大射程内某一射程s(＜smax)与其对应的发射角φ的关系式：

最后所配的6个例题中的例1指出：最大射程内(平面s，斜面s')的某一目标对应有两个发射角α1，α2，且它们对称于各自最大射程发射角α0，即

式(1)，(2)，(3)，(4)(以下简称式(1)～(4))这四个关于射程与发射角的算法是中算家关注的重点和解读的出发点。

2 李善兰《火器真诀》对抛射运动的解读——“以平圆通之”

李善兰《火器真诀》［7］是国人对《重学》抛射运动最早、也是最为重要的解读论著。他在咸丰戊午腊尽日(1859年2月2日)的自识中交待了该书的写作与《重学》有关。他说：

凡枪炮铅子皆行抛物线，推算甚繁，见余所译《重学》中。欲求简便之术，久未能得。冬夜少睡，复于枕上反复思维，忽悟可以平圆通之，因演为若干款，依款量算，命中不难矣。

《火器真诀》文字简练，共12款，即12个命题，借用圆图解出《重学》中抛射运动发射角与射程之间的4个关系式(1)～(4)，主要内容是第7～11款。兹简介如下。

第7款图示平面最大射程smax。smax是一个重要参数，但不便实测，该款给出一个间接测量法：先测出大于45°的发射角所对应的较小射程s，然后依图示测出smax。如图2，作Rt△TAB使得斜边上的高AX=s，∠XAT为发射角α，则以TB为直径的圆的半径即为最大射程，即 OA=smax。

第8款图示smax对应的发射角α0。如图2，以OA=smax为半径作圆，则∠ORT即为α0。

第9款图示平面射程s(＜smax)对应的两个发射角α1，α2，即图解式(4)。如图3，以OA=smax为半径作圆，取ON=s，过N点作OA的垂线交圆于A1，A2两点。作A1X1∥OA，A2X2∥OA，并连结 A1X1，A2X2，则∠X1A1T，∠X2A2T 即为 s对应的两发射角 α1，α2。第8 款为此款的特例。

第10款图示平面和斜面最大射程smax，s'max两者之间的关系，以及s'max所对应的发射角。如图4，斜面倾角∠OAI=θ，过圆心O作斜面AI的垂线OD交圆于T点，连结AT。过T点作OA的垂线交斜面于I点，交OA于F点。则为 s'max对应的发射角。此款图示中圆半径不是smax，且s'max不能直接图示出来，略显不足。后来卢靖在其《火器真诀释例》中对此进行了改进。

第11款图示斜面射程s'(＜s'max)对应的两个发射角α1，α2。如图5，依照第10款(图4)作AI=s'max，取IN=s'，过N 点作OA的垂线交圆于A1，A2两点。作A1X1∥OA，A2X2∥OA，并连结 A1X1，A2X2，则∠A1X1T，∠A2X2T 即为 s'对应的两发射角 α1，α2。若 θ=0°，即为第9款。

李氏图解法的科学性参看文献［5］。《火器真诀》只有图示，没有证明，“以量代算”，抛开《重学》的力学背景知识以及代数形式的推证，用中算家自己所熟知的“圆”对抛射运动知识进行“建构”，实际上是为式(1)～(4)建立了一个几何模型，现在看来，如同当今的“数学建模”。应注意到，抛物线的知识当时还只是在《代微积拾级》中以解析几何的方式进行比较全面的论述①当时另一部介绍圆锥曲线知识的著作《圆锥曲线说》还未译出。下文华蘅芳《抛物线说》的自识可证。，这于国人而言还是一个比较陌生的领域。但是，让炮兵们尽快掌握抛射运动知识又迫在眉睫，必须“求简便之术”同时还得达到“命中不难”的实际效果。所以李氏“以平圆之理”去解读抛射运动知识，以便让更多的人理解抛射运动的规律。至于李氏为什么“忽悟可以平圆通之”，本文认为《重学》卷11后附例题的第4题应该对李氏有所启发。

该题为：

图6《重学》卷11例题4

假如于甲点将多物用同速抛出，行于一个面上之各方向线，历若干秒，物行各至何处?如图6，从A点沿平面任意方向以相同的速率v抛出若干物体Pi，问t时间后它们的位置。书中给出的解答为“诸物俱在平圆周”。如图最后各Pi在以O为圆心，vt为半径的圆周上，其中O点在A点的下方，且即物体在t时间内自由落体运动时的距离。该题最后还指出“设抛物方向不在统一面上，则历若干秒，各物俱在立圆周”，即若方向是空间任意的，则Pi在以O为球心，vt为半径的球面上。

如图6，反过来看，若以适当的发射角和初速度，从Pi点发射炮弹，则均能命中目标A。这与《火器真诀》第11款(图5)有相通之处，可能是此题中“平圆”这个李氏所熟知的知识点引起他的“忽悟”。

总之，通过李善兰的解读和重构，与枪炮有关的抛射运动知识门槛得以降低，《火器真诀》也因此成为之后中算家理解抛射运动知识的主要参考文献。

3 华蘅芳《抛物线说》对抛射运动的解读——“未能满意”

华蘅芳(1831～1902)《抛物线说》［8］(约1860年成书)是针对《火器真诀》而写的，目的也是解读《重学》中抛射运动知识。华氏自识称：

忆余二十余岁时，阅《代微积拾级》，粗知抛物线之梗概，而《重学》中《圆锥曲线》尚未译出也。李君秋纫以所著《火器真诀》见示，余觉未能满意。因以积思所得者，笔之于书，徐君雪村为余作图，遂成此帙。①秋纫，李善兰字。雪村，徐寿字。

为什么华蘅芳对《火器真诀》不满意呢?他对其中的什么不满意呢?先对《抛物线说》予以简介。

《抛物线说》分两部分。第一部分论述“抛物线之理”。这部分首先根据《重学》相关内容介绍惯性定律、重力等力学知识，并指出作抛射运动的物体当其初速度与重力方向相同或相反时轨迹是直线，否则是抛物线。其次对照图示介绍了抛物线的直径、通径、带径、准线、切线等概念以及切线与准线的一些几何性质。这些知识显然来自《代微积拾级》(1859)卷5“抛物线”。最后还给出一个轨迹问题：借用图1，设初速度v一定，发射角θ在90。到0。之间变化时，子弹的轨迹为等通径的抛物线族。这些抛物线共准线，焦点在以A为圆心、A到准线距离为半径的圆上;顶点在一个椭圆上，其短轴为焦点轨迹圆半径，长轴为直径，且平行于公准线。华氏没有给出证明和来源，可能与上述引起李氏“忽悟”的例题也有关。

第二部分论述“抛物线之用”。这部分先给出常数“坠数(g')”测定方法，以及已知发射角α和平面射程s求初速速率v的算法

该算法对应的原文为：

测一秒中物之平速(v)。以物向空中若干度(α)抛出及物落至地面量得其距抛处若干远(s)。乃以半径为一率，抛角正切(tanα)为二率，抛落距(s)为三率，求得四率，以一秒中坠数(g')除之，开方得秒数(t)。又以半径为一率，抛角正割(secα)为二率，抛落距(s)为三率，求得四率，以秒数除之，即得物受抛力一秒中行平速之数(v)。

此即：由此可得式(5)。在实际操作中，初速速率v也是一个不易测量的数值，华氏给出一个推求的办法。此式《火器真诀》没有论及。

之后该节指出抛物线之用“不外乎两大类：一曰设角求距，一曰设距求角”。角指的是“发射角”，距指的是“射程”。略举两例来说明①引文中中括号为原文注，小括号为本文随文注，下文同。各数学符号意义如前文。。

例1：

高抛求高斜距。一率抛角正割(secα)，二率抛斜两正切较(tanα-tanθ)，三率平速(v)，求得四率以坠率除之，寄左。一率抛角正割(secα)，二率斜度正割(secθ)，三率平速率(v)，求得四率以寄左数乘之。即得斜上之抛落距(s')。

此术为斜面射程s'算法，即

变形可得式(2)。

例2：

平距求抛角。一率倍抛点距心数［即平地最大之抛落距(smax)］，二率平距数(s)，三率半径，求得四率(cos φ)，检余弦表得度(φ)，以加减九十度而半之，转减九十度得大小两抛角(α1，α2)。

即

此术为平面最大射程内目标的两个发射角的算法。从术文“抛点距心数”及注文“平地最大抛落距”可以看出，此术是《火器真诀》第9款图解的具体算法，如图3，φ即∠AOA1(或∠AOA2)。

从识语和内容可以看出《抛物线说》重点也是解读《重学》中抛射运动知识式(1)～(4)。华氏在文中并未直接指明对《火器真诀》不满意的地方。相较于《火器真诀》，该文交代了一些力学知识，对抛物线进行了简介，将《火器真诀》图解的各量给出具体“术”——四率比例形式的算法。“术”以及“四率比例”是当时更为熟悉的数学形式。看来，华氏不满意的地方应是《火器真诀》“以量代算”的行文方式不利于学习传播。对于此，华氏另一著作《平三角测量法》［9］的识语可作为佐证。他说：

《平三角测量法》，余于光绪丁亥年(1887)在天津武备学堂时所辑也。学堂为演习西洋陆师而设，其中肄业之徒皆自淮军各营选来，武夫略知文字，于古今算学之书未能卒读，难与言几何代数之精，而测量之事又为行军所必需。斯时，教习算法者为卢君木斋、姚君石泉、孙君筱垞，恒苦无善本之书，朝夕授徒，使之但知其法而不必明其理。余故从西法撮取各术，冠以浅近易明之语，又列代数算式，以便仓卒翻阅，至于立术之理未暇及也，学者苟能习此亦足以致用矣。②卢木斋，即卢靖。姚石泉，即姚锡光。孙筱垞，待考。

“测量之事又为行军所必需”，弹道之学则更是必需。显然，抛射运动知识最直接的受众对象是军营的兵勇，他们连平面测量学也只能“但知其法而不必明其理”，更何况刚刚译介的抛射运动知识呢。可见，华氏将《火器真诀》的图解法改用四率比例算法重新解释，目的是再次降低抛射运动知识的门槛以便“略知文字”的兵勇们更好的接受。

4 对李善兰《火器真诀》的解读

李、华二人之后，解读抛射运动的著作有案可征的就有十来部，以其成序时间①若无明确的成序时间，则参考刊行年代。为序计有：熊方柏《火器命中》(1876年序)，丁乃文《炮法图解》(1878年序)，卢靖《火器真诀释例》(1884年序)，黄方庆《火器新术》(1884年序)，沈善蒸《火器真诀解证》(1886年序)，黄宗宪《练炮宜知》(1888年序)，张秉枢《火炮量算通法》(1895年刊行)，黄耀奎《火器真诀述真》(1896年刊行)，焦震福《枪炮算法从新》(1896年刊行)②焦氏《枪炮算法从新》没有理解李善兰“以平圆通抛物线之理”以及卢靖《火器真诀释例》对《火器真诀》第10款的改进(见下文论述)，因此该书对李氏和卢氏的指摘并不成立。焦氏系湖北自强学堂的毕业生。这也说明当时西学在中国的传播确属不易。，翟宝书《抛物浅释》(1898年序)，邓钧《炮准算法图解》(1902年序)。［10—20］这些著作几乎全是对《火器真诀》的解读。其中熊氏、卢氏、邓氏的著作具有代表性，兹介绍如下。

4.1 熊方柏《火器命中》——“有所发明”

熊方柏是李善兰在京师同文馆的学生，湖北蕲春人，1876年写成《火器命中》，其序称：“李壬叔夫子评曰：‘法浅意深，颇有裨于军政。’题签曰《火器命中》，取其与所著《火器真诀》有所发明也。”1881年，熊氏奉调神机营，以“省算法”教授操炮，两年后在南苑操练中成绩显著，当时外国报纸也报道了此事，谓：“京兵颇解测量。”(［10］，序)

《火器命中》12卷，最后一卷“电学问答”实为附卷，前11卷均为“命中”服务。卷1～2：三角测量学以及相应的算法。卷3：总括炮学之要，即“求角(α)求界(s，s')求速(v)求时(t)求炮点距地(y)”各算法大要。其中炮点距地实为式(a)的解释。为“省算法”编制炮筹(算筹)和炮表(算表)。卷4～11：分卷具体讨论角、界、速、时、炮点距地的算法。角、界的算法是《火器真诀》相关图示的具体释例。后三个量(v，t，y)的算法是熊氏的补充，依据是《重学》卷11。应该强调的是在卷3中，熊氏已经考虑到空气阻力、风力、风向的影响，书中研制“验风器”并以此绘制“权风表”测定风力大小，在实际计算中以比例方法推算风力阻力的影响。这些应该属于“有所发明”的内容。

纵观全文，如果说《火器真诀》是写给数学家看的话，那么《火器命中》则完全是写给炮兵们看的。熊氏补充了测量知识、仪器使用、数表使用等基础知识，并且说理全部配以实例，以求“举一反三”。他将炮兵们按其数学知识基础分为“已知算法者”和“未习算者”。他认为“一切算式乃有比例”，各算法“不外四率比例”，依照所求分卷讨论给出算例。在此基础上，他还编排相应各种标准数表，“未习算者”查表按比例扩大或缩小即可，即所谓的“省算法”。熊氏也正是因为其“炮学省算法”得以任职于神机营。

4.2 卢靖《火器真诀释例》——“详释其理”

卢靖(1856～1948)，字勉之，号木斋，湖北沔阳人。1884年写成《火器真诀释例》，书稿被推荐给湖北巡抚彭祖贤，得彭氏资助刊印，卢氏后被调入经心书院学习。1885年，卢氏“以天算对策举于乡”。次年，任天津武备学堂算学总教习。

卢氏序称“少时读兵家言，惜其于枪炮未有中准之法……近来研求算学，略能解之。得李氏《火器真诀》，益涣然冰释”。可见，卢氏是通过《火器真诀》才真正掌握抛射运动知识的。但是，他认为“李氏语太简贵，又无算例，通算术者尚须静玩半日方能解悟，况士卒耶?”因此，他“详释其理，设算例若干条，以证其义，附矩度测量以全其用”，写成《火器真诀释例》，对《火器真诀》各款补充实例解释，并用四率比例的方式推演解释各款算法。［12］在此，可以勾画出一条明晰的抛射运动知识传承路径：

图7 卢靖改进图

此外，卢靖对李氏原著第10款图示(图4)进行了改进。如图7，⊙O半径OA为平面最大射程smax，∠OBA为直角，∠OAB=θ为斜面倾角。连接AT，过O作OF∥AT交VA于D点。过F点作FD∥BT交OA于I点。则对应的发射角。此图使得原著第10款与第7款(图2)连贯起来，不仅将smax与s'max的关系图示出来，还将这两个重要的量在同一个图中图示出来。可见卢氏深得李氏原著精髓。

4.3 邓钧《炮准算法图解》——“补李氏华氏之所不备”

邓钧，江西南昌人。《炮准算法图解》包含《火器演草》2卷(1902年自序)和《火器补编》2卷(1902年自序)。

邓氏认为李善兰“《火器真诀》以平圆通抛物线，术诚简便，但所列各款仅具图说而无题草，其用之临阵放炮之时未免多费思索”。而且前人的解读著作又“难称善本”，于是将李氏原书分为平面射击和斜面射击两种情形，逐款解释，写成《火器演草》2卷。在此基础上，邓氏认为还有一些“非平圆可通”、“不藉平圆而藉抛物线”的情形，写成《火器补编》2卷，取意补《火器真诀》之缺。此编主要是针对《火器真诀》没有图解射程、速率和时间的情形。在此就其中一例进行说明。

《火器补编》卷1第6款：已知发射角α，斜面倾角θ及炮平面射程s，求斜面射程s'。

借用图1，设V为抛物线顶点，过V作平面AX的垂线交AX于C点，交斜面AI于E点，交切线AT于F点。邓氏“准抛物线理”得

“准八线理”可得，

又FE=FC-EC，最后可得，

这里“抛物线理”主要是指抛物线切线和次切线的性质，邓氏没有明示，但这个知识点可以在《代微积拾级》卷5“抛物线”、《圆锥曲线说》卷3“抛物线诸款”以及后来的有关圆锥曲线的著作①如由罗密士(E.Loomis)著，求德生(J.H.Judson)选译，刘维师笔述的《圆锥曲线》(1893年美华书馆铅印本)。中找到。可以看出，当时这些知识已为邓氏所掌握，不再是什么难点。

1910年，邓氏《炮准算法图解》呈献军咨处，被誉为“简而不陋，深而不晦，洵足以传世，《补编》尤能补李氏华氏之所不备”，被列为“高等算学教科书之一种”。(［20］，序)

4.4 其他解读文献——“删繁就简”，“餍队勇之心”

从上面分析可知，熊、卢、邓三人的解读都是为兵勇写的，解读形式主要考虑这些受众群体的数学水平。其他几人的解读著作同样如此，略举几例。

丁乃文《炮法图解》 丁乃文，浙江杭州人，曾供职于杭州制造局②中国科学院自然科学史研究所图书馆藏丁乃文手稿《炮法图解》中夹有刘翰臣补记的一便笺，刘称丁与其父刘岳云曾是杭州制造局同事。。他曾在1872年就炮的操作写过一本著作《炮法举隅》［21］，该书“均设比例，犹戥称之分两，一举手而可得，以便军中之用，是以言法而不言理也”。几年之后，丁氏认为“各生之学既知其法之所当然，必需知其理之所以然。理明法显，而后知理之所必然，法之不能行者，方能变通其法，仍不外乎理之固有”。于是将《火器真诀》“各法设题图解于后，删繁就简，悉从至捷之法”，成书即为《炮法图解》。(［11］，序)

沈善蒸《火器真诀解证》 沈善蒸，字立民，浙江桐乡人。沈氏于1881年从刘彝程学算，后成为刘的助手任上海广方言馆算学副教习。1898年后，代刘氏任求志书院算学斋斋长。《火器真诀解证》1886年序成，1892年刊行。他认为《火器真诀》“只有图说而无算法，通几何者，自不难按图立法，但炮弁未必尽通几何”，于是“以炮子前行、平速、下行、增速及八线勾股之理，逐款详证之。……又为补比例九法，较陈氏《炮规》、陆氏《炮说》之法更简，营中最易学习”。(［14］，序)此处，沈氏明确指出解读的对象是“不通几何”的普通炮兵，他先解释《火器真诀》诸款，然后对应写成四率比例形式，目的是使“营中最易学习”。

黄宗宪《练炮宜知》 黄宗宪，字玉屏，湖南新化人，年青时从长沙丁取忠学算。1876年随郭嵩焘出使欧洲。《练炮宜知》书名后有注：“原名《火器真诀》，李善兰演款，黄宗宪释例、补草。”黄氏考虑的对象也是炮兵，他说：“惟九款、十款、十一款理解渐深，猝不易了。书斋多暇，即原款图解之后附增释例一条，略参管见，列为算式，复于卷末补演真数问答六题、测远简法一则，俾读者易于领悟。设我中土人人能明其理、习其法，精心熟练，异日武备之强定不让泰西，人称绝艺矣。”(［15］，序)

翟宝书《抛物浅释》 翟宝书，字莲舫，江苏扬州东台人，曾任江西补用巡检。他认为《火器真诀》“有图无术不适于用。又于《曲线》③指李善兰与艾约瑟合译的《圆锥曲线说》(3卷)，第三卷内容“抛物线诸款”，共16款。第三以代数演抛物线凡十六款，空灵精确，但只可为工算者说法上乘，举以教队勇，则茫乎其若迷也。”因此作《抛物线浅释》“演法以四率为宗，一乘一除，不嫌冗曲，别为平击、仰击、俯击三种，逐式条例，各具分支，并附以捷法，逐度求之，莫不吻合，似可济行军之用，而餍队勇之心。”(［19］，序)

可以看出，这几位都是通过《火器真诀》得以掌握抛射运动知识，之后他们又都将此书当成“经书”进行注解、补充、改写，以求兵勇们能理解和运用。

5 结语：社会因素以及解读者与受众群体的知识构成

《重学》中几款关于抛物运动的知识何以引起这么多中算家的解读和再解读?其中原因值得深究。总的说来，这首先与当时兴起的洋务运动有关。

为“求强”、“求富”而兴起的洋务运动一项重要内容就是：制造船炮，编练新军。在实践过程中，洋务派领袖认识到“水师之强弱，以船炮为宗，船炮之巧拙，以算学为本”。［22］探求船炮的数理知识基础和技术基础自然成为当时洋务运动参与者特别是中算家面临的任务。

一败于鸦片战争，再败于英法联军，清廷认为战争失败的原因主要在于洋人的船坚炮利。特别是在镇压太平天国运动中，他们进一步认识到洋枪洋炮“足以催坚破垒，所向克捷”。1874～1875年清廷内部出现关于“海防之议”的辩论，李鸿章《筹议海防折》称：

历代备边，多在西北，其强弱之势，客主之形，皆适相埒，且犹有中外界限。今则东南海疆万余里，各国通商传教，来往自如，麇集京师及各省腹地，阳托和好之名，阴怀吞噬之计，一国生事，诸国构煽，实为数千年未有之变局。轮船电报之速，瞬息千里;军器机事之利，工力百倍;炮弹所到，无坚不摧，水陆关隘，不足限制。又为数千年来未有之强敌。(［23］，3987页)

面对“数千年之未有之变局”和“数千年之未有之强敌”，洋务实践者们逐渐对船炮(制器)和算学形成了一些独特的认识，以下几例极具代表性：

冯桂芬(1809～1874)《校邠庐抗议》(1861年自序)论及数学称：

一切西学皆从算学出，西人十岁外无不学算。今欲采西学，自不可不学算。或师西人，或师内地人之知算者俱可。［24］

同治五年(1866)九月李善兰序《重学》时感叹：

呜呼!今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也;推原制器之精，算学明也。(［6］，序)

因思洋人制造机器火器等件，以及行船行军，无一不自天文、算学中来。现在上海、浙江等处，讲求轮船各项，若不从根本上用著实工夫，即学习皮毛，仍无裨于实用。(［23］，1945页)

同治九年(1871)九月，闽浙总督英桂、船政大臣沈宝桢等附片请“特开算学一科”称：

水师之强弱，以船炮为宗，船炮之巧拙，以算学为本。西洋炮船愈出愈奇，几于不可思议，实则由厘毫丝忽积算而来，算积一分，巧逾十倍，故后来居上耳。［22］光绪十一年(1885)五月，李鸿章为建立天津武备学堂奏称：

独是泰西武备之学，皆从天算、舆地、格致而来。［25］

光绪二十一年(1895)八月谭嗣同等人为建立浏阳算学馆上书湖南学政江标称：

其格致、制造、测地、行海诸学，固无一不自测算而得。故无诸学无以富强，无算学则诸学又靡所附丽。［26］

光绪壬辰科榜眼吴士鉴1902年给邓钧《炮准算法图解》作序称：

夫火器为兵事之将帅，而算学又为火器之精神。故火器之准否，视算学之精粗。(［20］，序)

可以看出，实践者们各自对数学进行自己的阐释，逐渐连成这样的一条认识链：自强必先制器，制器必须讲求西算，自强应从算学着手。这成为洋务运动时期的指导理论。［27］总理各国事务衙门甚至将“自强”与“算学”相提并论：

举凡推算学格致之理，制器尚象之法，钩河摘洛之方，倘能专精务实，尽得其妙，则中国自强之道在此矣。(［23］，1946页)

现在看来，并不是学习了数学、物理学、化学就能制造出轮船、枪炮、弹药，洋务运动实践者们的逻辑过于简单，不过恰恰是这简单的认识，使得数学在那个时代被提升到关乎国计民生的高度。翻译西学、传播数学知识、研究制器之方则是中算家们参与洋务运动实践并能发挥自己专长的方式。十多位中算家对事关子弹飞行规律的抛射运动知识一再解读就是这种方式的具体表现。

同时必须看到，当时西学传播的程度受制于解读者和受众的知识基础。《重学》极大部分介绍的是19世纪以前的初等力学知识［28］，即便如此，它也是近代物理科学数学化的结果，有着必要和必须的数学基础。胡威立《力学基础》第五版(1836)涉及的数学基础知识主要有：初等算术、三角函数、平面几何、单变量函数微分①此版仅仅用到单变量函数微分的表述，如牛顿运动第二定律的微分表达形式，并没有具体的运算。胡威力《力学基础》一共有7版(1819～1847)，在《重学》翻译之前均已出现。相较于其他6版，第5版(《重学》底本)简化了数学内容，前几版用二维、三维直角坐标系处理力学问题以及用二重积分、三重积分求解不规则物体重心的内容均未出现。该版还删除了力学中难度较大、涉及复杂数学知识的分析力学部分。［29］由此看来，第5版能被选作底本应该不是随意的。、圆锥曲线(主要是抛物线)。这当中最深的就是圆锥曲线。在《重学》初版时(1859)的中国，《代微积拾级》刚刊行，《圆锥曲线说》还未译出。抛射运动涉及的抛物线知识对国人来说几乎是全新的知识，所以也难怪之后大部分数学家都是尽量抛开抛物线谈抛射运动，对于《重学》卷11的第5和第6款(子弹轨迹为抛物线的证明)并不理会。李善兰巧妙地用“平圆”解读，随后的华蘅芳改用四率比例算法进行解读，之后的数学家大都如此。可以说，抛射运动知识因《重学》的翻译而传入中国，因《火器真诀》的解读而为一般中算家所掌握，因中算家的再解读才逐渐被炮兵们所理解。

进一步分析，可以看出，当时西学传播必须面对三个情形：首先，西学知识并非由浅入深依次传入;其次，有着自己算学传统的中算家并不具有完备的解读西学的知识构成，而受众群体的知识基础更为薄弱;最后，很重要的一点，当时特定的社会因素要求某些西学必须引入并且尽可能地为受众所掌握。鉴于此，对照前文的分析，可以看出，中算家们实际上是在根据自己和受众的知识构成对西学加以选择、解读和建构，赋予西学在自己知识结构内以意义，这同时也是他们不断修正、扩充自己的知识构成的过程。因此，差不多半个世纪之后的邓钧能直接运用“抛物线”解读抛射运动而补李善兰之“不备”，就是其知识结构已经充实和改变的体现。

总之，李善兰《火器真诀》对抛射运动知识的解读如同今天的“数学建模”，他用“平圆”知识重新建构了抛物线的物理意义，其目的在于更好地传播西学。其后十几位数学家用更接近兵勇们知识构成的数学语言对《火器真诀》进行解读，则是为了更快更广地传播，洋务运动这一特定的社会历史背景使得这一传播更为紧凑和深入。中算家们解读工作的意义就在于传播和普及西学。

致 谢本文是在作者博士学位论文相关章节基础上修改而成，感谢导师李兆华教授的悉心指导。本文曾在第五届中国科技典籍研究国际会议(2011.9.23-25，清华大学，北京)宣读，感谢与会专家的意见。还要感谢韩琦研究员和评审专家的宝贵意见。

1 邓亮，韩琦.《重学》版本流传及其影响［J］.文献，2009，(7)：151～157.

2 韩琦.李善兰·艾约瑟译《重学》之底本［J］.或问(日本)，2009，(17)：101～111.

3 聂馥玲.《重学》底本考［J］.自然科学史研究，2010，29(2)：158 ～165.

4 Whewell W.An Elementary Treatise on Mechanics：Designed for the Use of Colleges and Universities［M］.Cambridge：The Pitt Press，1836.

5 刘钝.别具一格的图解法弹道学——介绍李善兰的《火器真诀》［J］.力学与实践，1984，(3)：60～63.

6 胡威力.重学［M］.李善兰，艾约瑟，译.金陵书局刊本，1866(同治五年).

7 李善兰.火器真诀［M］.金陵则古昔斋算学刊本，1867(同治六年).

8 华蘅芳.抛物浅说［M］∥行素轩算稿·算草丛存.武昌红印本，1893(光绪癸巳).

9 华蘅芳.平三角测量法［M］∥行素轩算稿·算草丛存.武昌红印本，1893(光绪癸巳).

10 熊方柏.火器命中［M］.鸿都阁刻本，1898(光绪二十四年).

11 丁乃文.炮法图解［M］.丁乃文手稿本(中国科学院自然科学史研究所藏)，1878(光绪戊寅自序).

12 卢靖.火器真诀释例［M］.湖北抚署刻本，1884(光绪十年).

13 黄方庆.火器新术［M］.苏甘室算学丛书本，1903(光绪癸卯).

14 沈善蒸.火器真诀解证［M］.刻本，1892(光绪壬辰).

15 黄宗宪.练炮宜知［M］.古琴古砚斋红印本，1897(光绪丁酉).

16 黄耀奎.火器真诀述真［M］.经心精舍东观裔算学本，1896(光绪丙申).

17 焦震福.枪炮算法从新［M］.自强学堂印本，1896(光绪丙申).

18 张秉枢.火炮量算通法［M］.味经售书处《味经课艺》本，1895(光绪乙未).

19 翟宝书.抛物浅释［M］.椽竹书屋主人校刊本，1901(光绪辛丑).

20 邓钧.炮准算法图解［M］.抄本(中国科学院自然科学史研究所藏)，1903(光绪癸卯吴士鉴序).

21 丁乃文.炮法举隅［M］.金陵算学局重刊本，1879(光绪五年).

22 舒新城.中国近代教育史资料·礼部奏请考试算学折［M］.上册.北京：人民教育出版社，1961.27.

23 中华书局编辑部，李书源.筹办夷务始末(同治朝)［M］.北京：中华书局，2008.

24 冯桂芬.校邠庐抗议［M］.戴扬本评注.郑州：中州古籍出版社，1998.210.

25 朱有瓛.中国近代学制史料［M］.第1辑.上册.上海：华东师范大学出版社，1983.534.

26 谭嗣同.谭嗣同全集·浏阳兴算记［M］.北京：中华书局，1998.181.

27 王萍.西方历算之输入［M］∥中央研究院近代史研究所专刊(17).台北：中央研究院近代史研究所，1980.197～198.

28 聂馥玲.晚清科学译著《重学》传入的经典力学知识及其特征［J］.内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)，2009，38(4)：469 ～476.

29 聂馥玲.金陵版与美华版《重学》比较研究［J］.内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)，2010，39(1)：87～93.

Abstract The knowledge of projectile motion in Zhong Xue greatly aroused the attention of traditional Chinese mathematicians in the late Qing Dynasty.Using his knowledge of circle，Li Shanlan first of all gave a graphic interpretation of knowledge of projectile motion in his Zhong Xue published in 1859.During over 40 years after Li，more than 10 mathematicians re-interpreted Huoqi Zhenjue，which rendered the knowledge of projectile motion to be widely disseminated at that time.Most of the mathematicians cast aside parabola when they discussed the knowledge of projectile motion.This paper deems that the traditional Chinese mathematicians selected and interpreted the western learning introduced into China on the basis of their own and soldiers'composition of knowledge，whose process was made even more compact and thorough by the Late Qing specific social context.

Key words knowledge of projectile motion，dissemination，composition of knowledge

Mathematical Interpretation on the Knowledge of Projectile Motion in Zhong Xue by Late Qing Traditional Chinese Mathematicians

GAO Hongcheng
(School of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China)

N092∶O112

A

1000-0224(2012)02-0167-13

2011-11-17;

2012-04-02

高红成，1976年生，湖北黄冈人，中科院自然科学史研究所博士，天津师范大学数学科学学院副教授，主要研究中国数学史。

国家自然科学基金(项目编号：11001199);天津师范大学博士基金(项目编号：52X09015)