惠特尼1934～1936年微分流形工作的历史分析

邓明立 王 涛

(河北师范大学数学与信息科学学院，石家庄 050024)

哈斯勒·惠特尼(Hassle Whitney，1907～1989)是著名的美国数学家，专长为微分拓扑，早年研究图论，1982年沃尔夫数学奖得主。惠特尼一生发表近80篇论文，三部专著，即《几何积分论》(Geometric integration theory，1957)、《复解析簇》(Complexanalyti varieties，1972)和《数学活动》(Math activities，1974)。他是一系列新概念、新理论的开创者，其中最主要的是拟阵、上同调、纤维丛、示性类、分类空间、分层等。［1］

评价一个数学家的尺度多种多样，没有统一的标准，其中获得奖项无疑是一个重要的方面，特别当一个数学家连续获得多项大奖，足以说明他所从事的数学工作的重要性和大家对他的认可。从惠特尼获得的奖项来说，我们不难看出惠特尼是20世纪有很大影响力的数学家。惠特尼于1936年发表在数学年刊(Annals of Math)上的《微分流形》(Differentiablemanifolds)系统阐述了他关于微分流形的认识，这之前他已经通过2篇论文建立了自己的理论，但以这篇文章最系统，现已成为经典文献，1966年菲尔兹奖得主斯梅尔(S.Smale，1930～)的获奖论文即引用了惠特尼的这篇文献，另外从Google学术搜索上可以看到这篇文章的引用次数高达586次!

微分拓扑的主要研究对象是微分流形，而微分流形能起到将拓扑、代数、几何、分析以及理论物理紧密联系在一起的中心作用(如李群是微分流形)，这些学科的日益融合已成为当今数学发展的主流方向之一，有关流形的研究在20世纪数学发展中占有重要地位。微分流形已经成为微分几何、微分方程和微分拓扑研究的主要对象之一。

惠特尼热爱爬山，喜欢音乐，他的数学风格就像爬山一样充满了探险精神而并不局限于某一领域。1929年他考上了伯克霍夫(G.D.Birkhoff，1884～1944)的博士研究生，致力于图论研究，后受困于四色猜想，又由于他对函数几何性质的喜爱，便转向了拓扑学。在转向拓扑不到两三年的时间里便给出了微分流形的一般定义，证明了嵌入定理，完成了微分流形内外蕴定义的统一，这些现在已经成为微分流形的基本定理。

由于微分流形在现代数学中的重要性，数学史家对其已有不少历史研究。其中迪厄多内(J.Dieudonné，1906～1992)从代数拓扑和微分拓扑的历史角度对惠特尼关于微分流形的工作进行了粗略的论述［2］;20世纪80年代，数学史家肖尔兹(E.Scholz)在专著［3］中详细论述了流形自黎曼(C.F.B.Rimeann，1826～1866)到庞加莱(H.Poincaré，1854～1912)时期的发展历史，其后又在《流形的概念，1850～1950》(The Concept of Manifold，1850～1950)对流形后续的历史进行了补充研究［4］;尤拉托(Giuseppe Iurato)的《关于微分流形的历史》(On the History of Differentiable Manifolds)对微分流形的历史演变进行了深度分析［5］，但微分流形拓扑学的历史仍留有不少问题。其中迪厄多内在《代数拓扑和微分拓扑的历史，1900～1960》中指出正是惠特尼首先给出了内蕴定义的微分流形存在嵌入的证明，不仅如此，惠特尼还考虑了这些嵌入流形的整体性质。但何以惠特尼能率先完成这一开创性研究呢?迪厄多内没有给出原因。另外，肖尔兹没有涉及惠特尼的贡献。尤拉托虽然提到了惠特尼的工作，但他主要是论述被忽略的意大利数学家迪尼(Dini)在微分流形概念演变中所做的贡献。总体来说，有关论述惠特尼对微分流形贡献的文献偏少，这与惠特尼所做的贡献不相称，对微分流形的历史也是一个缺失。鉴于此，笔者在掌握原始文献和研究资料的基础上，试图回答上述遗留问题，给出1934～1936年惠特尼关于微分流形工作完整的历史分析。

1 惠特尼转向拓扑原因初探

惠特尼的祖父是语言学家，外祖父是天文学家和数学家，并曾任美国数学会主席，父亲是法官，母亲虽然是个艺术家，但是却对政治异常感兴趣，少时惠特尼只喜欢做机械玩具，并没有数学上的偏好。然而他还是走上了外祖父的道路而没有像父母一样热衷于政治，否则这将是数学界的一个重大损失。1921～1923年，惠特尼到瑞士上学，除了学习法文和德文外，最让他兴奋的是学会了高超的爬山技术。1924年他到耶鲁大学学习物理，1928年取得物理学士学位，出于对音乐的热爱，惠特尼仅用一年又取得了音乐学士学位，这无疑说明了惠特尼在音乐方面的天分。大学毕业后，由于对四色问题感兴趣，他考取了哈佛大学伯克霍夫的博士研究生，在伯克霍夫的指导下，惠特尼成长很快，到1932年拿到博士学位时，他已经写了近10篇论文，完全是图论的。由于他工作出色，1931～1933年任美国国家研究委员会研究员，1933年在哈佛大学数学系任讲师，这时他的方向也从图论改为拓扑。［1］

那么惠特尼是如何从图论转向拓扑学的呢?笔者认为有以下三个方面的原因。

1.1 惠特尼的图论研究中广泛存在着拓扑学思想

哥尼斯堡七桥问题和四色猜想是图论中的两个经典问题，也是图论和拓扑学的共同起源，图论和拓扑有很多相似之处，如都考虑整体性质，忽略距离因素等。

惠特尼在1931～1934年的主要兴趣在于图论(解决四色猜想)，这一时期他发表了十多篇文章，所用的方法主要是拓扑学方法。

在惠特尼有关图论的论文中，广泛存在着诸如(图)同构、(图)连通、(图)对偶、(图)嵌入等术语［6］，以及在同胚意义下对图进行分类［7］，他还定义了图的拓扑不变量［8］，而按照同胚对拓扑空间进行分类是拓扑学永恒的主题，这都和他后来转入拓扑学有相当大的关联。惠特尼对图论做了很大的贡献，其关于图论的工作主要分为四个方面:可平面图，可平面图的哈密顿回路，着色问题以及拟阵理论［9］。笔者认为惠特尼关于可平面图的研究和他后来证明的嵌入定理在思想上是一脉相承的。

在图论中，可平面图是指有平面嵌入的一类图，一个平面嵌入可用一个一一映射来表示。可平面图涉及图的拓扑性质，即一个线路能否展布在平面上而不相交，这要求图不可有自交点。平面图的研究显然涉及平面拓扑学，尤其是若尔当曲线定理，好在这个定理已经于1905年由维布伦(O.Veblen，1880～1960)证明了。

微分流形的嵌入也是一个一一映射，即要求流形以一一的方式映入欧氏空间，而流形的象集显然是欧氏空间的一个子流形并且要求和原流形是微分同胚的。

图和流形分别是图论和拓扑学的主要研究对象，由于各式各样的图和流形非常之多，因此数学家追求刻画同胚意义下的图和流形来做代表，图的可平面化和流形嵌入正是这个意义下的同胚，由于同胚要求映射为一一映射，故反映在图论上要求一个图在嵌入时任意两边不能相交。而在流形上稍复杂，要求切映射不能退化，两者都要求不允许出现自交点，在这一点上两者是一样的。而嵌入的对象平面和欧氏空间则要求简单和重要。

1930年，波兰数学家库拉托夫斯基(K.Kuratowski，1896～1980)在研究一维图嵌入到平面这一问题时，得到了一个基本定理，一个图能嵌入到平面当中，当且仅当它们不含K5和K3，3为子图。惠特尼通过自己建立的对偶概念重新证明了这一定理［10］，这使得他对于这一定理有了深刻的理解。之后他转向了拓扑学，类似于图论，惠特尼开始考虑微分流形是否有像可平面图那样的性质。

其实，从现代观点来看，这二者的数学意义是一样的。

因此惠特尼和欧拉(L.Euler，1707～1783)、库拉托夫斯基等被认为是拓扑图论的先驱。

惠特尼的图论工作主要围绕四色猜想展开，这个猜想在当时几乎吸引了所有数学家的注意力，惠特尼取得了不小的进展，他得到了几个与四色猜想等价的命题，但发现证明它们颇为困难，这些都或多或少促使惠特尼转向了拓扑。离开自己耕耘的图论，对于惠特尼来说似乎是无可奈何，然而从另一方面说，惠特尼无疑又是幸运的，这是因为在死胡同面前，惠特尼及时地扭转了方向，从而不至于把自己限制在这个难题里面。不仅如此，惠特尼准确地把握住了当时的数学主流，他适时地转入了拓扑学并做出了开创性的贡献，微分拓扑学由此得以兴起和发展。

如此看来，惠特尼转入拓扑学真是自己和数学界的大幸!

1.2 惠特尼的几何思想为微分流形的研究奠定了先决条件

惠特尼一生的兴趣始终在函数的几何性质上，这一点可从他的专著《几何积分论》看出，他以几何的观点重新阐述了微积分理论，这点与分析学家颇有不同，惠特尼关于微分流形的研究成果也总结在该书中［11］。早在他从事图论的研究过程中，他开始着手解决这样一个问题:函数的延拓。

这个问题始自英年早逝的苏联数学家乌雷松(P.Urysohn，1898～1924)，1925年乌雷松证明了:如果A是n维欧氏空间E中的闭子集，f(x)为A中定义的连续函数，则f可延拓成为整个E上的连续函数F［12］。

惠特尼的想法是，把连续映射推广到可微的情形。现在看来，这一转变对于惠特尼的研究方向所起的作用越来越不可忽视。笔者认为这一转变起着从图论转向微分流形中转站的作用。有了这一套工具在手，惠特尼从微分的观点来看拓扑，这与之前的方式大不相同，正是这一观点上的转变，为惠特尼从事微分流形的研究奠定了先决条件。

1932年惠特尼证明了:存在F不仅连续，而且在E-A上可微，甚至解析;如果f(x)在A中m次可微，则在A上，F的各阶导数与f的对应相等［13］。惠特尼不仅考虑了A为闭集，而且考虑了A为任意子集的情形，接着他研究了泰勒展开余项的可微性［14—17］。但这是一个非常困难的问题，直到2005年才得到了完全的解决。

惠特尼关于函数几何性质的一系列工作的最大特点是十分重视欧氏空间上分析的一些技巧，这些技巧在之后惠特尼研究微分流形浸入和嵌入中得到了应用。

至此我们大体得到了惠特尼从图论转到拓扑学的路线:惠特尼从1931～1934年主要从事两个方向的研究:图论和函数的几何性质。由于图论方向受困于四色猜想，惠特尼转而研究函数的几何性质，在可平面图思想的指引下，函数几何性质的技巧可完全用于证明微分流形的嵌入，至此惠特尼转到微分流形可以说是水到渠成了。

1.3 惠特尼与其他拓扑学家的交流强化了惠特尼与拓扑的关联

惠特尼不愿意在一个领域内做过多的停留，这点在他身上体现的淋漓尽致，其实这是和惠特尼高度原创性分不开的，一般认为惠特尼是个特立独行的人［2，19］。另一点值得注意的是，虽然如此，但他不是闭门造车，其实他也和其他一些数学家有交流。这些数学家中有:亚历山大(J.W.Alexander，1888 ～1971)、霍普夫(H.Hopf，1894 ～1971)、德拉姆(G.de Rham，1903～1990)等。亚历山大、德拉姆也是著名的登山专家，他们曾在欧洲数次攀爬阿尔卑斯山。惠特尼明确表示非常欣赏德拉姆的工作［20］，无独有偶，德拉姆正是以微分不变量定义了拓扑不变量，他以微分的形式定义了一种同调，现在看来，这种同调是一种上同调，德拉姆的巧妙之处在于用到了微分流形上函数可微的优良性质。

至此看来，与其说惠特尼转向拓扑有其偶然性，不如说惠特尼转入拓扑是一件必然之事。

从表1中我们能清晰地看到惠特尼从1931～1936年研究方向的转变。1931～1933年间，惠特尼致力于四色问题的证明，共发表了9篇图论方面的论文。从1934年开始，惠特尼开始对微分映射的几何性质感兴趣，这种爱好伴随了他一生。在这短短的一年里，惠特尼连续发表了5篇关于可微函数的论文［13—17］，这时他的主要精力已集中于拓扑学。1935年，除了在图论方向给出了拟阵理论的奠基性文章外，其余则是关于可微函数解析延拓和微分流形［18，22—23］。1936年惠特尼发表了他的《微分流形》，为微分流形的基本概念划上了完美的句号。惠特尼1931～1936年发表的文章类别和数目见表1。

表1 惠特尼1931～1936年的论文

因此，笔者认为:1934年可以算做惠特尼转入拓扑学的初始时间，1935年惠特尼完全转入拓扑学，因为这一年在莫斯科召开了一次拓扑学大会。

2 惠特尼和1935年莫斯科拓扑学大会

1935年9月4日到10日在莫斯科召开的国际拓扑学大会是一次真正意义上的大规模专门会议，几乎所有拓扑学的头面人物都出席了，包括后来对整个数学影响很大的冯诺依曼(John Von Neumann，1903 ～1957)和韦伊(AndréWeil，1906 ～1998)，这次会议非常成功，取得了圆满的结果，对拓扑学产生了深远的影响［20，21］。

20世纪30年代，由于希特勒的上台和排犹政策，整个欧洲可谓是山雨欲来风满楼，大战一触即发。随着一大批德国数学家移居美国，德国数学界一蹶不振，哥廷根学派已然不可和过去30年同日而语。而另一个数学大国法国正处于人才断层时期，到那时还没有完全从第一次世界大战中恢复过来，整个法国对欧洲大陆包括拓扑学在内的新数学几乎一无所知。虽然有布尔巴基学派奋起直追，但是仍然落后于其他国家。剩下的则是一些小国，如荷兰和瑞士，虽有一些数学家在从事拓扑学工作，但其规模和所起的作用显然不能和法国、德国当年辉煌时相提并论。西欧受法西斯影响很大，但东欧的数学发展十分良好，波兰强烈的民族数学精神鼓舞着每一位波兰拓扑学家，苏联更是有以亚历山大洛夫(P.S.Aleksandrov，1896～1982)为首的莫斯科拓扑学派。

在大西洋的另一边，普林斯顿高等研究院刚刚成立，6位研究人员中竟然有4位是拓扑学家，他们是外尔(H.Weyl，1885～1955)、亚历山大、维布伦、莫尔斯(H.M.Mrose，1892～1977)，20世纪以来美国拓扑学始终保持着强劲的势头。

进入20世纪30年代以后，原先停顿的代数拓扑学又得到了长足的发展，那个阶段拓扑学的发展最终体现在莫斯科拓扑学大会。1935年9月惠特尼作为美国代表团几位成员之一参加了在苏联莫斯科举行的国际拓扑学大会。

这次大会成为拓扑学史的里程碑，其数学意义主要在于:由于在上同调群中引入了上积的概念，从而可使上同调群赋予环的结构，这是之前同调群中所没有的性质，因此可视为上同调理论的开端;而且在之前1932年苏黎世国际数学家大会上被压制的同伦群理论再次被提出来，同伦理论开始真正发展起来;再次，关于向量丛认识上的成熟直接指向纤维丛和示性类理论，这些都极大地促进了拓扑学的发展。

本次大会对惠特尼产生了巨大的影响［20］，首先是对惠特尼信心的鼓舞，有如此大的学术共同体，使惠特尼兴奋不已，这极大地坚定了惠特尼从事拓扑学的决心。此外，惠特尼还逐渐形成了自己的研究风格。他自己十分喜欢微分，因而在当时他青睐德拉姆的工作，而霍普夫又是他最喜欢的数学家，他的目的就是综合二者所长，用现代的语言来说也就是寻找代数拓扑与微分拓扑的关联，笔者认为他的研究风格很大程度上决定了他这三年来的研究方向。

莫斯科拓扑学大会之后，年青一代拓扑学家逐渐接替了老一代拓扑学家，惠特尼正是在这次大会后脱颖而出的。从某种程度上说，莫斯科拓扑学大会是欧洲数学最后繁荣的一个缩影。由于各种原因，苏联拓扑学每况愈下，而西欧的血雨腥风使得大量数学家逃往美国，拓扑学的中心这时才真真正正地移到了美国。

3 惠特尼1934—1936年微分流形工作的历史分析

流形的概念起源于黎曼，历经庞加莱、外尔和其他数学家的研究，到了20世纪30年代，已经初步给出了流形的公理化定义。需要指出的是，当时人们对于流形的认识尚处于初级阶段，即对拓扑流形和微分流形不加区分，虽然独立定义了拓扑流形和微分流形，但是所有人都认为凡是拓扑流形必可以赋予唯一的微分结构，因此定义拓扑流形和微分流形在上面这些数学家眼里是等价的。为了研究流形的几何、拓扑以及谋求计算上的方便，很多数学家选用微分流形作为出发点。微分流形上有大量的可微函数，而函数可微是非常好的性质，在此基础上，维布伦和怀特黑德(J.H.C.Whitehead，1904～1960)于1931年和1932年给出了高维流形的公理化内蕴定义。

黎曼在1854年《论几何学的基本假设》中首先提出了n维流形的概念，他把n维流形设想为局部与n维欧氏空间相仿的对象。黎曼的思想是将高斯(C.F.Gauss，1777～1855)的曲面内蕴微分几何学推广到任意维数，所谓内蕴就是几何性质不依赖于外在空间的选取，因此黎曼的流形定义是内蕴的。由于当时根本没有度量空间和拓扑空间的概念，所以黎曼脑海中的流形是一个相当原始的概念。1900年希尔伯特(D.Hilbert，1862～1943)尝试以邻域定义二维流形，显示了公理化的威力。外尔在查阅了希尔伯特的论文后，于1913年首先在他的名著《黎曼面的思想》中内在地定义了二维复流形，这成为日后定义微分流形的模范。［3］

19世纪末，庞加莱在引进组合拓扑学基本概念的同时，通过一系列方程和不等式定义了n维流形［3］。由于方程和不等式依赖于欧氏空间的选取，因此庞加莱的定义是外蕴的。换句话说，是作为已经嵌入于欧氏空间中的子流形来定义的。流形的内外蕴定义方式是一个值得研究的问题，内蕴定义的微分流形是否一定可以在某个欧氏空间中“实现”为子流形?这显然是一个基本的问题，而且长时间没有得到解决。

1934年惠特尼转入拓扑学之后马上意识到这些问题很重要，从1935年开始，惠特尼在美国国家科学院学报(Proc.Nat.Acd.Sci)和数学年刊上先后发表了4篇关于微分流形的文章，文章给出了微分流形的抽象定义，证明了现在被称之为惠特尼浸入和嵌入定理的命题，发展了球丛(纤维丛)的概念，并定义了后来以其名字命名的示性类①中国数学家吴文俊为其命名，即惠特尼示性类。，从而一举奠定了惠特尼在拓扑学的地位。

惠特尼在1935～1936年先后发表的四篇文章，分别是《欧氏空间中的微分流形》［22］(Differentiable manifolds in Euclidean Space)、《球空间》［23］(Sphere Spaces)、《微分流形》［24］以及《流形在一组解析流形的嵌入》［25］(The Imbedding of Manifolds in Families of Analytic Manifolds)，在这四篇文章中，以第一篇和第三篇的历史意义最为巨大，现代数学史著作中多提到的就是这两篇。

惠特尼在1935年的《欧氏空间中的微分流形》率先完成了这一开创性的研究，此文章于1935年9月刊于数学年刊。这篇文章的主旨是对欧氏空间中抽象微分流形的嵌入理论进行总结。惠特尼当时用的嵌入是imbedding，现在已经普遍用embedding，两者并无意义上的不同。

惠特尼给出一个非常重要的概念:浸入(immersion)，他称为正则映射(regularmap)，这是Cr映射，满足其切映射在每一点的局部范围内是单射。惠特尼开篇写到:

我们在这里给抽象的微分流形在欧氏空间中的嵌入以及解析流形对这些流形的逼近进行一个总结。作为一个推论，任何微分流形可以被赋予解析黎曼度量。(［22］，462 页)

整篇文章为三个部分:第一部分是微分流形在欧氏空间的嵌入，在这里惠特尼给出了微分流形的定义，论述了嵌入定理。第二部分是解析流形对微分流形的逼近，第三部分是微分流形在一族解析流形的嵌入。

惠特尼的部分术语和现在不同，惠特尼统一称为“嵌入”，但意义是一样的。由正则Cr映射引导的“嵌入”就是现代意义下的浸入，如果这个映射还是一一映射则就是现代意义下的嵌入。

由于在第三部分中，涉及“正则位置”这个概念，而惠特尼说明，如果M是一个微分流形，则M处于正则位置当且仅当球空间是一个乘积空间。而这和球丛理论是分不开的，于是惠特尼接着发了一篇论文《球空间》，和上面那篇论文连在一起发表在数学年刊上。

在这篇文章中惠特尼给出了球空间的定义和具体例子，并定义了相同底空间上不同球空间的不变量，但是这篇文章和上面那篇文章一样，都没有给出详细的证明。这以后惠特尼并没有在球空间上过多停留，而是继续研究微分流形的嵌入理论，直到1937年的文章又重新提到球空间，并指出球空间在微分流形的拓扑中占有重要地位。实际上惠特尼对球空间和示性类的研究主要是为了用于证明更高层次的浸入和嵌入定理。

这两篇文章并不长，合起来共8页，类似于一个摘要。1936年惠特尼发表的两篇文章是对这两篇文章的扩充，并给出了详细的证明。

1935年9月在莫斯科拓扑会议召开之际，惠特尼提交了《微分流形》，这篇文章于1936年2月10日刊于数学年刊，这正是微分拓扑的奠基之作。开篇惠特尼就交代了研究问题的实质:

这篇论文的主要目的是为微分流形的拓扑和映入其他流形的映射的一般研究提供一个纯粹的具有解析特征的工具。一个微分流形一般被认为有两种定义，一是局部邻域同胚于n维欧氏空间，这些邻域的重叠部分由微分变换联系，或者作为n维欧氏空间的子集，由附近的每一个点定义为表达一些在其他方面的可微函数的坐标来定义。(［24］，645页)

这其实就是论述微分流形内外蕴定义的区别，第一个定义就是微分流形的内蕴定义，这个定义是由维布伦和怀特黑德给出的，惠特尼对这个定义进行了修改，从而使这个定义更一般，也更接近现代。第二个定义则完全由惠特尼独创，即考虑定义在欧氏空间中的子流形。但是这两个定义是什么关系呢?对此惠特尼给出了两个基本的定理:

第一个基本定理就是第一个定义并不比第二个定义宽泛，任何微分流形都可以嵌入在欧氏空间中。(［24］，645页)

显然惠特尼认为内蕴定义的微分流形都可以嵌入到欧氏空间中而作为欧氏空间的子流形，这使得一系列问题得到了简化。

第二个基本定理就是处理流形的光滑化问题。(［24］，645页)给出基本定理后，惠特尼更加详细地阐述了嵌入情况，指出嵌入的情形很大程度上依赖于欧氏空间的维数，并提出解析流形能否以解析的方式嵌入到欧氏空间中的问题。然后惠特尼论述了证明方法综述:

如果流形是闭的，则定理的大部分证明依赖于魏尔斯特拉斯逼近定理;如果流形是开的，则定理必须由相应的定义在开集上的函数取代，而其中最有用的就是闭集上可微函数的解析延拓。(［24］，646页)

惠特尼早在1934年就已经完成闭集上可微函数解析延拓的研究，这使得惠特尼可以从容地面对这个问题。

整个文章分为6个部分:其中第一部分是定义和初始结果，第二部分是主要定理的论述，第三部分论述嵌入定理，第四部分论述En中流形的邻域，第五部分是关于解析流形的，第六部分为定理2的证明。

之后惠特尼又发表了《流形在一组解析流形的嵌入》(The Imbedding of Manifolds in Families of Analytic Manifolds)，这是对1935年发表的那篇《欧氏空间中的微分流形》第Ⅲ部分的详细论述，至此惠特尼的嵌入定理完全得到了证明。

惠特尼关于微分流形的认识十分清晰。惠特尼首先给出微分流形的内蕴定义，继而给出正则映射，即定义了浸入和嵌入，这之后开始致力于证明嵌入定理。整个定理的证明非常巧妙，首先证明映射在一个局部坐标域上可以经过小的扰动而变成正则映射，然后证明正则映射在紧集上是稳定的，这两者结合保证可以一小块一小块地对f作微小修改，最后在整个流形上得到一个正则映射。这种方法在以后逐渐被提炼为单位分解。单位分解已成为处理流形局部和整体最有力的工具之一，在微分流形的几何、拓扑，动力系统中运用广泛。惠特尼之所以可以运用他之前的工作，源于管状邻域的概念，这点在处理流形的光滑化问题中作用非常明显，而且从现代观点来看，这与嵌入流形的法丛是等同的。

惠特尼关于微分流形的外蕴定义其实是更高一层次的定义，也就是涉及微分流形的表示问题。笔者认为，微分流形的嵌入理论和他在图论中有关可平面图的研究在思想上是一脉相承的，这使得惠特尼能够以流形的表示理论来研究微分流形。而同时基于对闭集上可微函数解析延拓的研究，惠特尼运用了魏尔斯特拉斯定理及其推广，成功地解决了微分流形的基本问题，并由此开创了一门新分支——嵌入理论。到现在为止，这门分支已经有了大量成果。不仅如此，关于嵌入定理的研究还激发了惠特尼对于球空间和示性类的研究，这正是纤维丛理论的核心所在［26］。

由于惠特尼在《微分流形》详细地对嵌入定理进行了证明，从而使得微分流形这一概念得到了本质上的澄清，关于内蕴定义的流形是否可以嵌入到欧氏空间中的问题被彻底弄清楚了。惠特尼的工作一经发表便产生了非常大的影响，关于微分流形是否可三角剖分的问题立刻被解决，同时还可直接推出微分流形都可赋予黎曼结构，这大大简化了之前的证明。随着微分流形概念的成熟，微分拓扑、现代李群和整体微分几何开始兴起，它们之间的交叉融合对20世纪数学发展起到了巨大的推动作用。

惠特尼的影响遍及全世界，对我国数学也有着深远的影响。陈省身(1911～2004)曾经说过，在拓扑学大会之后，惠特尼代表了拓扑学的发展方向。惠特尼关于微分流形、纤维丛和示性类的工作，为陈省身的研究打开了道路［27］。吴文俊(1919～)也是从惠特尼球丛乘积公式的显式证明开始学习和研究代数拓扑学的，惠特尼可谓对吴先生影响深远，著名的吴公式就是有关惠特尼示性类的表示公式，以及获得过国家自然科学一等奖的示嵌类工作正是惠特尼嵌入理论的继承和发展［28］。

《微分流形》一文中给出的定义和概念基本上成了微分拓扑的标准定义，而文中所采用的方法更是渗透到整个数学中。因此，该文在数学史上占有非常重要的地位，一般认为，惠特尼1936年发表的《微分流形》是微分拓扑的开端，是微分拓扑领域的经典之作。

4 结论

1934～1936年，惠特尼的主要贡献是建立微分流形的拓扑学，更具体地说是给出了微分流形的内外蕴定义，并且证明二者是等价的。

需要注意的是惠特尼一开始是研究图论的。在从事图论工作的同时，他也进行着可微映射的研究，二者的结合使惠特尼能够从微分流形的表示入手进行微分流形的研究。

惠特尼在1934～1936年的工作，确立了他微分拓扑奠基人的地位。从现代观点来看，惠特尼大大强化了代数拓扑和微分拓扑的联系。他在1934～1936这三年的工作，涉及上同调，微分流形的浸入和嵌入，纤维丛和示性类理论。这些都是代数拓扑和微分拓扑共有的概念和工具，至少在30年代到50年代之间，代数拓扑和微分拓扑还远未分离，微分拓扑还远没有独立于代数拓扑学的发展，认为惠特尼之后微分拓扑就获得长足发展的说法是错误的。实际上一直到1956年米尔诺(J.W.Milnor，1931～)的7维怪球才使得微分拓扑真正独立于拓扑学，那就是研究微分结构和微分同胚不变量。

惠特尼的工作可谓是独树一帜，因为30年代的代数拓扑远没有今天这样完善，各种同调论不但使人混乱不堪，而且上同调到底是怎么回事仍然不是很清楚，在这种情况下，惠特尼的工作弥足珍贵。在代数拓扑方面，惠特尼不但独立地提出了上积的概念，而且恐怕是最早理解上同调深刻之处的数学家，他关于纤维丛分类的工作无疑涉及了代数拓扑的核心(如同伦论)。不仅如此，惠特尼对于几何的喜爱使他非常注重微积分的应用，他以微分的观点来研究拓扑，这些成果后来总结在他出版的《几何积分论》中。惠特尼看待拓扑的的观点多少与当时的普遍看法不同，当时很多数学家对微分根本不屑一顾，继续采用组合的办法，却忽略了微分流形的拓扑学。因此我们可以这样说，惠特尼是当时少有的同时兼顾到两方面的数学家。正是由于惠特尼的工作，微分拓扑得以开端和肇始。

与美国早期的拓扑学家不同，作为美国本土培育的数学家，惠特尼敏锐地捕捉到了拓扑学的发展方向。他1936年提出的微分流形和可微映射的现代定义，使得微分拓扑学有了自己的研究对象，这无疑是开创性的，虽然美国的拓扑学一直很强，但拓扑学的主要思想来自庞加莱和欧洲，从惠特尼开始，美国在拓扑学上的原创性陡然增强，正如他自己所说，这次拓扑学真正意义上移到了美国。

总之，这三年是惠特尼的一大巅峰时期，虽然这只是惠特尼从图论转到拓扑学的牛刀小试，但其对微分流形的嵌入思想已经形成，1944年惠特尼将自己在1936年的工作又大大推进一步，证明了更强的嵌入定理。现在公认惠特尼是莫斯科拓扑学大会后所有拓扑学家中最出色的一个，他的工作博大精深，指引了下半个世纪整个拓扑学的发展，值得我们去做进一步的研究和分析，从某种程度上说，我们的工作才刚刚开始。

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