解决薄壳体静态磁场反演问题的新方法

徐 杰

(海军驻桂林地区军事代表室，广西桂林541002)

0 引言

现在越来越多的应用软件能够解决反演问题。本文关注静态磁场的反演问题。将1个没有磁化的铁磁性物体，放置于1个外围磁场中，通过磁传感器测量磁场值，然后计算出任何位置的磁场，尤其是不能放置传感器的地方。本文将采用应用于3D薄壳结构的新方法，该方法避免了采用以前的调整方法，减少传感器的数量。

1 反演公式

1.1 经典公式

将1个铁磁性外壳物体放置于外部磁场H0中(地球磁场或者线圈产生的磁场)。壳体的磁矩M包括2个部分:感应部分Mind，由外部磁场引起;固定部分Mper，材料的历史磁性。由于周围磁场变化而引起的磁化，用Hred表示。

如果薄片的厚度小而且相对渗透率μr高，则假定磁化切线于中间曲面S［1］。将薄壳体剖分成N个相同的磁化单元。磁矩M与标准磁矩Hred的关系为

其中，r为薄壳体和曲面S的联结点与传感器之间的矢量。

1.2 奇异值的减少

式(2)表明，在1/r3数量级下，壳体附近存在奇异值的问题。为减少奇异值，每个单元壳体采用经典结论。分析具有相同磁化的容积V，得

其中n为V的外部法线。将式(3)应用到单元Si，得到新公式

其中ni为单元Si厚度方向的外部法线。式(4)表明，在1/r2数量级下的奇异值，是计算值最接近于壳体的实际值。

1.3 系统论述

放置P个传感器于空气中，得到1个具有4×N个未知数的3×P个方程 (传感器为3个轴向)，从而得到以下系统

其中:A依赖于网格和传感器的位置;b为测量磁场部分。一般情况下，测量数据多于方程的未知数。此系统非常庞大 (尤其对于3D几何学)，并且一些方程是矛盾方程 (因为测量数据不精确)，因该系统具有病态性，必须采用优化方法。

2 壳体内部的有效方程式

经典优化方法基于已知信息 (大部分情况为标准方案或者由此派生的方案最小值)。因此，为解算式(5)，通过增加1个系数，使之变为1个新的良性数学系统。尽量将物理方法代替数学方法来解决此问题，则有

壳体内部的有效公式

综合式(6)和式(7)，得到另1个公式

其中:H为壳体内部某位置的磁场值，由H0和所有薄片的磁化引起。联合式(4)，得到单元i的1个新公式

将式(9)应用到每个薄片单元上，得到

式(10)由2×N个方程和4×N个未知数组成，方程个数比未知数少，但是具有很好的条件数。目前，采用最小正方形方法解算式(6)和式(10)。由此可见，仅仅解算式(10)将引起感应磁化的微积分，并且使固定磁化变为0。

3 计算与试验结果

重点关注铁磁船体产生的异常磁场。建造1个真实的船模 (长4.6 m，e=1.4 mm，μr=96)，用来验证运算法则。外部磁场H0是地球磁场，32个三轴传感器放置于舰船内部，舰船被剖分为271个小单元 (见图1)。通过测量壳体内部的磁场以及采用前文方法，得到磁化模型 (见图2)，计算出舰船外部磁场，并且将此磁场值与壳体下方30 cm处的纵向方向的测量值进行比较。

4 结语

本文介绍一种解决静态磁场反演问题的新方法，并且在船模上验证了该方法。与过去方法相比，该方法具有明显优点。首先，它降低了式(2)奇异值的次幂，使传感器更接近于磁源 (例如壳体)，并且得到更多精确的测量数据。其次，通过给壳体内部增加一个物理系统，更有利于分析问题。少量的测量装置(例如传感器)可以得到可靠的解决方法，并且系统具有良好的条件数。该方法既有规律性又有可供选择的良好参数 (对于3D壳体来说，选择参数非常困难)，此外，它能够方便地应用于大容积装置。

［1］CHADEBEC O，COULOMB J L，LECONTE V，BONGIRAUD J P，CAUFFET G.Modelling of static magnetic anomaly created by iron plates［J］.IEEE Trans.Magn，2000，36(10):667-671.

［2］IGARASHI H，KOST A，HONMA T.Inverse inference of magnetizationdistribution in cylindrical permanent magnets［J］.Proc.Compumag’99，1999，2:310-311.