基于有限元功率流的L型板振动传递特性

乔 志，陈美霞

(华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉430074)

0 引言

L型板是舰船结构中常见的连接结构形式。研究其振动传递特性，对于研究舰船结构振动噪声传递和控制具有重要意义。

J.M.Cuschieri［1-3］，Nicol J.Kessissoglou［4］分 别基于导纳功率流的思想和结构声强计算方法，对L型板的振动能量传递情况进行研究。得出在低频情况，耦合板主要是以弯曲波传递能量为主;随着频率的增大，面内波的作用也越发明显。李天匀［5］利用导纳法研究了L型加筋板在外载荷作用下的输入振动功率和传递振动功率流。随着振动功率流技术的不断发展，振动能量在结构中传递的具体细节越发被关注。L.Gavric和 G.Pavic［6］基于有限元的思想，推导了梁、平板以及壳体结构中的结构声强(功率流密度)公式，并给出了简支平板结构的结构声强矢量图，与采用模态叠加法计算的结果进行对比，验证了该种方法的可行性。然而，之前的一些研究仅仅是针对简单的规则结构，对于复杂结构并未涉及到。

本文基于有限元功率流理论，提出了对L型板连接处单元上的功率进行积分，为计算复杂结构的传递功率提供一种思路。将本文计算结果与导纳功率流法的结果进行对比，得到输入功率和传递功率结果曲线吻合较好，从而说明了本文计算结构传递功率的方法是可行、准确的。同时本文提出了评价振动传递的指标，功率流传递率，即从能量的角度定量地描述L型板传递振动的能力。给出了L型板的功率流云图，并将可视化技术应用到复杂结构舱段基座中，为研究基座的振动传递特性提供一定的帮助。对于工程实践中的一些复杂结构，解析解求取传递功率可行性不大，而本文研究方法对于复杂的结构具有很好的通用性。

1 基本理论

1.1 导纳功率流理论

J.M.Cuschieri［1］在较早时期提出了基于导纳功率流法对L型板的振动传递特性进行分析。其分别给出输入功率和传递功率的公式，见式(1)和式(2)所示。基于导纳功率流计算的结果作为本文的参考值，以此来验证本文处理方法结果的可行性和准确性。

1)输入功率

式中:

1.2 有限元功率流理论

1.2.1 输入功率

机械设备安装在弹性结构上，安装点的尺寸远小于结构波长，因此可以用点激励近似模拟机械激励作用。

对于有n个点激励源的薄板结构，其输入到系统能的总能量表达式为

式中:Fj为第j个广义激励力;σj第j个广义激励力位置处的广义位移大小。

1.2.2 结构声强

结构声强可以认为是功率流密度，其形式为矢量，表示结构上某点能量的大小和方向;对结构的某个截面上的结构声强进行积分即可得到通过该截面的功率流。通常对于薄板结构，认为通过薄板结构单位宽度上的功率流，即为结构声强。对薄板截面任意点的结构声强沿板的厚度积分，即可得到通过薄板单位宽度的功率流。对于结构在稳态振动情况下，只有结构声强的实部对能量的传输是有贡献的，因此更多关注的是结构声强的实部，通常也定义为结构的有效声强。

瞬时情况下，结构声强是时间的相关量，可表示为［6］

式中:vt(t)为结构的第l个速度矢量的分量;σkl(t)为第kl个应力张量的分量，它们都是时间的相关量。

对第k个瞬时结构声强分量进行时间上的平均，则可得到通过结构某点的净声强:

对于单位宽度平面薄板单元，沿薄板的厚度进行积分可以得到通过薄板单位宽度的功率流计算公式:

对于简谐振动下的结构，其结构声强又可以表示成位移表达式:

式(8)和式(9)中，前2项是拉伸波结构声强，第3和第4项是弯曲波结构声强，最后1项为扭转波结构声强。

1.2.3 传递功率

在完成模型结构声强计算后，通过选定一条积分路径(如图1所示)进行积分，即可求得通过该路径上的传递功率。本文基于有限元离散思想，将结构离散为单元形式，通过对边界连接处单元输出功率的求取，从而得到L型板耦合边的传递功率。

对于有m个薄壳单元的输出功率表达式为:

式中:Fj为第j个薄壳单元的广义内力;uj为第j个薄壳单元广义位移大小。

1.3 功率流传递率评价指标

目前主流的振动传递评价指标有:力传递率、插入损失以及振级落差。随着功率流技术的不断发展，基于能量观点的功率流评价指标越发被关注。

为了更直观地说明L型板在耦合边处传递振动能量的能力，文中给出了功率流传递率指标。定义通过耦合边传递到受板的功率流与激励点输入到源板的功率流比值为功率流传递率［7］，即

式中:Ptr为通过耦合边传递到受板上的功率;Pin为激励点输入到源板上的功率。

2 数值算例

2.1 计算模型说明

计算模型参数如表1所示。

计算频率:20～1000 Hz，间隔2 Hz;

边界条件:耦合边自由，其他边简支;

激励力:单位力，位置为 (0.5，0.25，0)。

边界条件以及激励力位置见图1。

在对模型进行有限元网格划分时要保证计算频率内每个弯曲波波长内至少有6个单元，从而可以较准确地拟合出振动波在结构中传递的情况。

表1 L型板参数Tab.1 Parameter of L-shaped plate

图1 L型板有限元模型Fig.1 Fem model of L-shaped plate

2.2 输入功率、传递功率以及功率流传递率

本文主要采用有限元分析软件Ansys，对L型板进行谐响应分析。基于式(1)、式(10)以及式(11)，通过编程在Ansys后处理中实现对L型板的输入功率、传递功率流以及功率流传递率的计算。并将由本文方法计算的结果与文献 ［1］中导纳功率流的计算结果进行对比，对比结果见图2～图4所示(参考功率值为1e-12 W)。

图2 输入功率对比Fig.2 Comparison of input power

2.3 结构功率流的可视化

为了更好地说明L型板的振动传递情况，本文选取了在输入功率、传递功率以及功率流传递率曲线峰值和谷值处频率的结构功率流云图进行说明，具体见图5所示。

图5 L型板功率流云图Fig.5 Power flow cloud pictures of L-shaped plate

2.4 数值算例结果分析

综合图2～图5可得:

1)2种方法在整个计算频率段内输入功率、传递功率以及功率流传递率曲线吻合得比较好，进而说明本文这种处理方法是可行、准确的，可以应用到研究复杂结构的振动传递特性中。

2)在输入功率和传递功率同时达到峰值时，不一定意味着结构传递振动能力就是大的，结合L型板的功率流云图可以很好地解释功率流传递率曲线峰值和谷值原因。因此，在实际结构分析中应该综合考虑结构的输入和输出，才能准确评价结构振动传递情况，这也是本文为什么要提出功率流传递率指标的目的所在。

3)通过给出结构的功率流云图，可以直观地得到能量在结构中的流动情况，为结构的振动控制设计提供一定的参考依据。

在实际舰船结构中，较规则的结构形式很少，更多的是一些组合型的复杂结构。本文在之前简单L型板研究的基础上对带有基座结构的舱段结构进行研究。给出舱段以及基座的功率流云图，通过基座以及舱段壳体的功率流云图，可以很清楚地得到能量在结构中的传递途径，为研究基座的振动传递特性提供一定的参考依据，具体见图6所示。

图6 复杂舱段结构功率流可视化Fig.6 Power flow visualization of complex cabin structure

3 结语

基于以上相关分析说明得出如下结论:

1)通过与导纳功率流计算结果的对比，证明本文所提出的处理方法的可行性和准确性。

2)本文提出的功率流传递率指标综合考虑了结构振动能量输入和振动能量传递情况，可以定量地分析结构传递振动的能力;同时给出直观描述能量流动的功率流云图;通过将两者结合起来可以从能量角度更好地分析复杂结构的振动传递情况。

3)本文处理方法对工程实际中复杂结构具有一定的通用性，可以为结构振动控制设计初阶段提供一定的帮助。

［1］CHUSCHIERI J M.Structural power-flow analysis using a mobility approach of an L-shaped plate［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1990，87(3):1159-1165.

［2］CHUSCHIERI J M.Parametric analysis of the power flow on an L-shaped plate using a mobility power flow approach［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1992，91(5):2686-2695.

［3］CHUSCHIERI J M，McCOLLUM M D.In-plane and out-ofplane waves’power transmission through an L-plate junction using the mobility power flow approach［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1996，100(2):857-870.

［4］KESSISSOGLOU N J.Power transmission in L-shaped plates including flexural an in-plane vibration［J］.Journal of the Acoustical Society of America，2004，115(3):1157-1169.

［5］李天匀，张维衡.L形加筋板结构的导纳功率流研究［J］.振动工程学报，1997，10(1):112-117.

［6］GAVRIC L，PAVIC G.A finite element method for computation of structural intensity by the normal mode approach［J］.Journal of Sound and Vibration，1993，164(1):29-43.

［7］朱石坚，等.振动理论与隔振技术［M］.北京:国防工业出版社，2006.286-289.