关于Busemann不等式的一点注记

魏 超

(西南大学数学与统计学院，重庆 北碚 400715)

1 预备知识

1．1 主要记号

Sn-1表示Rn中的n-1维单位球面．

表示与x方向垂直的超平面．

若ρK(u)是连续的，则称K是星体．

特别地，对于每一个u∈Sn-1，都有

1．2 经典的Busemann不等式［1］

设K为欧式空间Rn中的对称凸体(即含有非空内点的紧的凸集)，那么函数

是一个范数．

1．3 Busemann不等式的一种推广形式(A．Giannopoulos［2］)

设2≤k≤n-1，E为Rn中的k维余子空间，对任意的z∈E⊥∩Sn-1，定义

此款产品的传感元件在2～8 kHz频率范围内提供5 mV/g的输出，并通过激光焊接密封在一个坚固的、耐刮擦的钛外壳内。该传感器的总立方体尺寸仅为7.1 mm，质量为1 g，适合在空间受限的测试点进行测试。典型的应用包括环境应力筛选和在高温环境下的NVH测试。

那么函数

是一个定义在E⊥上的范数．

相交体IK首先由Lutwak［3］定义和研究，其定义由下式给出

相交体在解决Busemann-Petty问题当中起到了关键作用．

广义相交体Ip，kK按照下式定义：

θ∈ Sn-1．

其中，〈x，θ〉表示向量x与θ的普通内积，E(θ)按照(6)式定义．

2 主要结果

定理1 设K是Rn中的对称凸体，2≤k≤n-1，E为Rn中的k维余子空间，对任意的z∈E⊥∩ Sn-1，定义

那么函数

是一个定义在E⊥上的范数．

本文的另一个目的就是定义一种特殊的新的广义相交体．设K是Rn中的对称凸体，2≤k≤n-1，E为Rn中的k维余子空间，E(θ)按照(6)式定义．我们按下式定义一种特殊的新的广义相交体：

根据定理 1，显然 I0，2K=IK．

本文的另一个结果就是给出这一特殊的广义相交体的对偶Brunn-Minkowski不等式．

定理2 设K、L是Rn中的对称凸体，那么

等号成立当且仅当K和L位似．

3 定理1的证明

根据Zhang的内容，我们知道，当考虑一个定义在支持函数上的函数 F(hK)=V(K1，…，Kn-1，K)时，利用混合体积的单调性，当f≥0时，有下式成立：

定理1的证明 在(13)式中令f(u)=1，dμ =dx(x∈K∩E(z))，则有

这样，(9)式便可写成：

根据预备知识中提到的Busemann不等式的一种推广形式，我们得到：(9)式是一个定义在E⊥上的范数．至此，定理1证毕．

4 特殊的广义相交体对偶Brunn-Minkowski不等式

结合定理1，我们从另一个角度定义一种特殊的新的广义相交体I0，2K．

定义1 设K是Rn中的对称凸体，2≤k≤n-1，E为Rn中的k维余子空间，E(θ)按照(6)式定义．那么I0，2K定义为：

定理2的证明 对于θ∈Sn-1，由于

由(4)式，有

利用Minkowski积分不等式，我们有

由(19)式和Minkowski积分不等式，有

而我们知道

这样，我们可知

根据Minkowski积分不等式，上述等号成立当且仅当ρK(·)与ρL(·)成比例，即K与L位似．这样，定理2证毕．

［1］Busemann H．Volume in terms of concurrent crosssections［J］．Pacific J Math，1953(3)：1-12．

［2］Giannopoulos A，Milman VD．Extremal problems and isotropic positions of convex bodies［J］．Israel J Math，2000，117：29-60．

［3］Lutwak E．Intersection bodies and dual mixed volumes［J］．Adv Math，1988，71：232-261．