用试探方程法求解Boussinesq方程

杨玉婷，崔泽建

(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637002)

非线性发展方程已广泛应用于自然科学的各个领域，而求解非线性发展方程［1］的精确显示解又是至关重要的．至今已经发展了一些有效的方法，包括逆散射法［2］、Backlund 变换［2］、双线性法、对称性法［3］等．本文利用由刘成仕提出的试探方程法［4-7］结合积分变换求解一个重要的非线性发展方程——Boussinesq方程，得到了方程的3类精确显示解．

1 试探方程法

我们考虑偏微分方程

这里p是一个多项式，我们首先做一个行波变换

有时通过积分可以对方程(3)进行降阶．试探方程法可以概述为以下几个步骤：

第1步 采取如下多项式变换

其中，φ是ξ的一个未知函数，这里a0，a1，…，am为确定的常数，且m≥1．

这样方程(3)可以变成

Q为相应的多项式．

第2步 我们令

则

把(6)代入方程(5)可得

第3步 假设方程(7)有如下多项式形式的解：

这里，b0，b1，…，bn是确定的常数．利用齐次平衡原理可以得到m和n的关系，把试探多项式(8)代入(7)可以得到一个关于φ的多项式，再根据多项式的系数相等可以得到一个代数方程组，然后通过解这个代数方程组，就可以得出a0，a1，…，am，b0，b1，…，bn的值．

第4步 积分以下一阶常微分方程

我们可以得到φ的值，进一步我们可以通过把φ的值代入方程(4)得到u的值．

2 应用

下面我们通过用试探方程法来求解Bouss-inesq方程：

其中 α，β，γ 为常数．

先进行行波变换，然后再积分，Boussinesq方程变为如下形式

这里，C是任意的常数．为了求解的方便，不妨设

根据我们上面所述的试探方程法，结合齐次平衡原理，我们可以得到

首先取 m=2，n=2 ，则

把(12)式代入(11)式可以得到

根据变换(6)式、(13)式可以变成如下一阶常微分方程：

进一步，我们假设(14)具有如下多项式形式的解

把表达式(14)代入(13)可以产生一个关于φ的多项式．令多项式的系数为零，可以得到如下代数方程组：

解这个代数方程组得到一族参数的值

不失一般性，我们可以取b1=0，对b0，b2分别取不同的值．

1)若b0=1，b2=-1，则φ =coth(ξ-ξ0)，所以

或

2)若 b0=-1，b2=1，则φ =tanh(ξ-ξ0)，所以

或

3)若b0=1，b2=1，则 φ =tan(ξ- ξ0)，所以

或

现在，我们再取m=4，n=3，不失一般性，设

于是可以得到相应的代数方程组

解得：

不失一般性，取b1=1，则

所以

3 结语

本文利用试验方程法求解了Boussinesq方程，得到了3种形式的精确解，即正切函数形式、双曲函数形式和指数形式．从求解Boussinesq方程的精确显示解的过程来看，试探方程法是简捷、方便、切实可行的，它丰富了Boussinesq方程的解系．此外，这些解对于解释一些物理现象也是很有帮助的，期待这种方法在求解其他非线性发展方程中发挥更大的作用．

［1］Du Xinghua．An irrational trial equation method and its applications［J］．Pramana-J．Phys．，2010(73)：415-422．

［2］Wang Dengshan，Li Hongbo．Single and multi-solitary wave solutions to a class of nonlinear evolution equations［J］．J．Math．Anal．Appl．，2008，343：273-298．

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［4］Liu Chengshi．Trial equation method based on symmetry and applications to nonlinear equations arising in mathematical physics［J］．Found Phys．2011，41：793-804．

［5］Liu Chengshi．All single traveling wave solutions to Nizhnok-Novikov-Veselov equation［J］．Commun．Theor．Phys．2006，45：991-992．

［6］Liu Chengshi．The representation and classification of all single traveling wave solutions to sinh-Gordon equation［J］．Commun．Theor．Phys．2008，49：153-158．

［7］Liu Chengshi．New trial equation methods and exact solutions to some nonlinear mathematics physical equations［J］．Far East J．Appl．Math．2010：40，49-64．