关联白噪声对细菌Logistic生长过程的影响

方次军

（湖北工业大学理学院，湖北 武汉430068）

生物是一种复杂的非线性系统，具有潜在的随机性.反应分子通过扩散汇聚在一起，且它们的运动被随机碰撞所驱动，在生物系统中揭示非线性条件下噪声产生的各种重要效应，研究这些效应的产生的条件及其应用，已成为生命科学发展中的一个重要前沿领域，其研究成果正在推动许多科学领域的发展和相互交叉.研究在一个培养皿里面生活着一种细菌，供给一定量的细菌生存所需的营养，设x为t时刻的细菌相对数目，根据Logistic生长方程，可给出细菌的生长方程［1］

其中，a＞0，是细菌的固有生长率；b＞0，是限制细菌生长的抑制率.

方程（1）是一种理想的状态，即细菌的生长不受外界的干扰.而实际情况是细菌的生长会不可避免地受到外界的环境的影响，比如温度的变化，另外细菌本身的生长也会出现周期性涨落，这些干扰既会影响到a，也会影响到细菌数量的变化，从而导致噪声.于是可用方程

来描述细菌的实际生长过程.式中：ξ（t）是加性噪声；η（t）是乘性噪声.对于给定的随机微分方程（2），关于变量x其势函数为

图1 细菌Logistic生长过程（a＝1，b＝0.2）的势函数图

1 Fokker－Planck方程

对于给定的随机微分方程

相应的Fokker－Planck（FPK）方程为［2］

其中

D为常数，它的值由

决定.FPK方程是一个抛物型线性变系数偏微分方程，它描述了扩散过程的转移概率密度p（x，的进化和流动.当b（x，t）＝0时，方程（3）描述过程的确定性变化，a（x，t）＝0时，方程（3）描述纯扩散运动.当FPK方程描述一个变量是局限于有限空间的“物理”随机过程，那么，随着时间t的增长，系统可能会趋于唯一的解，即稳态解.对于稳态解的研究具有重要的意义，其原因首先在于稳态解反映了系统的长时间行为，经过各种不同长短的瞬态过程后，系统就会被这种长时间行为所主导，所以在绝大多数时间内人们对系统进行测量得到的正是这类稳态解的性质.当系统演化经过很长时间后，认为它达到一个稳态，即.则p（x，t）与时间无关，记为p（x）.式（4）变为

两边对x积分得

这里J为常数，代表稳态时概率流的强度.若认为系统是局限于随机变量取有限值的的范围，即概率分布满足自然边界条件［3］

所以稳态概率流为0，即J＝0.代入式（5）解得

N为归一化常数.

2 模型稳定性质的分析

首先给出方程（2）所满足的统计性质：

其中，Q，M分别是乘性高斯白噪声和加性高斯白噪声的强度；0≤λ≤1是两噪声之间的关联强度.由势函数很容易得出其稳定解x＝0和x＝a／b，x＝0是平庸解，考虑最后的稳定解是x＝a／b，即环境所能供养细菌的最大相对数目.而对于考虑外界环境影响后，即方程（2）不容易直接从（1）来分析细菌的生长情况，但根据前面的（3）式笔者给出相对应的Fokker－Planck方程为［4］

这里p（x，t）是细菌在t时刻相对数目为x的概率密度.设

这里

故

从而

当系统随着时间的演化，由方程（5）可得到稳态概率密度分布

3 计算和分析

对于式（2），由式（6）可得到p（x，t）的极值所满足的条件为可以得到A（x）＝B′（x）.从而得到式（2）应满足

不妨取f（x）＝x进行研究，由式（7）得

当λ＝0时，即噪声ξ（t）与η（t）没有关联，解得可见，乘性噪声对p（x，t）的极值的位置有影响，加性噪声对其没有影响.

图2是稳态概率分布和噪声关联强度之间的关系.λ＝0（两噪声没有关联时），稳态的概率分布一个峰值，位置大约在x＝5附近，当λ逐渐增大时，峰值逐渐下降，而在x＝0处的分布逐渐上升.图2中的参数为a＝1，b＝0.2，Q＝0.1，M＝2［5，6］.

图2 稳态概率分布和噪声关联强度之间的关系

从图3中可以看出，随着加性噪声的增强，峰值的高度逐渐下降，但是两边的取值上升，但峰值的位置依然位于x＝4.8左右.可见加性噪声使概率密度更加均匀，但它也会导致系统固有生长规律的破坏.从这种意义上看，加性噪声对概率密度具有扩散作用［7］.图3中的参数为a＝1，b＝0.2，Q＝0.1，λ＝0.

图3 概率密度分布和加性噪声强度之间的关系

图4 表明概率密度分布和乘性噪声强度之间的关系.当Q＝0.5时，峰值在x＝2.5附近，随着乘性噪声的减弱，峰值向右进行移动.从而可发现，乘性噪声会抑制细菌的生长，干扰了细菌的固有生长规律.从这种意义上看，乘性噪声对概率密度分布呈现漂移作用.图4中的参数为a＝1，b＝0.2，M＝0.1，λ＝0.

图4 概率密度分布和乘性噪声强度之间的关系

4 结论

在细菌的Logistic生长过程中，笔者考虑了两种噪声的干扰作用，通过用Fokker－Planck方程，分别讨论了加性噪声以及乘性噪声对细菌生长的影响.结果表明噪声的关联程度越高，越不利于细菌的生长；另一方面，加性噪声改变了峰值，对概率密度分布具有扩散作用；乘性噪声导致峰值的左右移动，对概率密度分布呈现出漂移作用.

［1］徐克学，生物数学［M］.北京：科学出版社，2005.

［2］LIN Y K，Cai G Q.Probabilistic structural dynamics［M］.Berlin：Heidelberg，1995.

［3］胡 岗.随机力与非线性系统［M］.上海：科技教育出版社，1994.

［4］Bao－Quan Ai，Xian jun Wang，Guo－tao Liu，et al.Correlated noise in a logistic growth model［J］.Phys Rev E，2003，67（2）：90－93.

［5］杨琪瑜.单种群生长的广义Logistic模型中参数的一种估值方法［J］.生物数学学报 ，1997（4）：316－320.

［6］桂占吉.生物动力学模型与计算机仿真［M］.北京：科学出版社，2005.

［7］艾保全.生物系统中的噪声效用的研究［D］.广州：中山大学图书馆，2004.