Morita Context 的（I，k）－正则性

叶建芳

（杭州师范大学理学院，浙江杭州310036）

Morita Context 的（I，k）－正则性

叶建芳

（杭州师范大学理学院，浙江杭州310036）

证明了若环T是具有一对零同态的Morita context环（A，B，M，N，ψ，φ），则有T／L≅A／I⊕B／J，其中L＝（I，J，M，N）是环T的理想，I，J分别是A，B的理想；同时证明了一对具有零同态的Morita context环T＝（A，B，M，N）是（L，k＋l）－正则环，如果其中的环A和B分别是（I，k）－，（J，l）－正则环，这里L＝（I，J，M，N）是环T的理想，且任意给定的k，l∈N.

（I，k）－正则性；Morita context环；上三角矩阵环；形式上三角；零同态

Morita context T＝（A，B，M，N，ψ，φ）包含两个环A，B，两个双模ANB，BMA和一对双模同态ψ：N⊗BM→A，φ：M⊗AN→B满足下列条件：

容易验证

按照普通的矩阵加法定义以及下面的乘法定义

本文中，所有的环均是有单位元的结合环，用字母A，B表示，环R的Jacobson根J（R）记为J，U（R）表示环R中的单位的集合，通常用字母T表示具有一对零同态的Morita context环（A，B，M，N，ψ，φ）.

值得一提的是，具有一对零同态的Morita context环不一定是形式三角矩阵环，下面例子1可以说明：

，容易验证在普通的矩阵乘法意义下，N是（A，B）－双模且M是（B，A）－双模.令

证明 证明过程详见［6，引理1］.

回忆：环R是半正则环是指R／J是正则环，且幂等元模J可提升；环R是半k正则环是指，对于任意元素a∈R，存在幂等元e∈Rak使得ak（1－e）∈J（R）成立，其中k是任意固定的正整数；如果用环R的理想I代替J（R），且满足上式，则称环R是（I，k）－正则环.

定理1 若环T是一个Morita context环（A，B，M，N，ψ，φ）且ψ＝φ＝0，那么T／L≅A／I⊕B／J，其中I，J分别是环A和环B的理想，

［1］Chen Huanyin.Morita contexts with many units［J］.Comm Algebra，2002，30（3）：1499－1512.

［2］Haghany A.Morita contexts and torsion theories［J］.Math Japon，1995，42：137－142.

［3］王尧，任艳丽.具有一对零同态的Morita context环：Ⅰ［J］.吉林大学学报：理学版，2006，44（3）：318－324.

［4］王尧，任艳丽.具有一对零态射的Morita context环：Ⅱ［J］.数学研究与评论，2007，27（4）：687－692.

［5］卢燕骅.关于Morita context环的若干研究［D］.杭州：浙江大学，2007.

［6］Chen Huanyin.Stronglyπ－regular Morita contexts［J］.Bull Korean Math Soc，2003，40（1）：91－99.

The（I，k）－Regularity of Morita Context

YE Jian－fang
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper identified that if ring T is a Morita context（A，B，M，N，ψ，φ）with zero pairings，then T／L≅A／I⊕B／J，where L，I，J are the ideals of ring T，A，B respectively.It also proved that Morita context ring T＝（A，B，N，M）with zero parings is（L，k＋l）－regular if ring A and B are（I，k）－，（J，l）－regular respectively，where L＝（I，J，M，N）is an ideal of ring T，and some given k，l∈N.

（I，k）－regularity；Morita context ring；triangular matrix ring；triangular matrix in form；zero pairings

O153.3 MSC2010：16E50；16Y99

A

1674－232X（2012）03－0245－04

10.3969／j.issn.1674－232X.2012.03.011

2011－05－25

叶建芳（1985—），女，基础数学专业硕士研究生，主要从事非交换环理论研究.E－mail：yejianfangjiayou＠163.com