悄然升温的『分类讨论思想』

☉江苏省建湖高级中学 陈晓智

悄然升温的『分类讨论思想』

☉江苏省建湖高级中学 陈晓智

数学解题中，当所要解决的问题包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论.这种解决问题的思想方法，称分类讨论的思想方法，也称类分法.下面结合具体问题，阐述分类讨论要注意的几点问题：

一、分类合理不重不漏

例1 设集合P={m|－1＜m＜0}，Q={m∈R|x2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）.

分析：关键是确定集合Q，应分m=0或m≠0两种情况讨论，即不等式mx2+4mx－4＜0分为二次不等式和非二次不等式讨论.

本题正确解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求.

例2 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外3人车工钳工都会，现需选出6人完成一项工作，需车工、钳工各3人，问：有多少种选派方案？

分析：本题解法较多，可按“仅会车工”、“仅会钳工”、“车工钳工都会”等情况分类来解.本题按“选出的钳工中所含全能工人的个数”来分类.

二、恰当选择分类标准

例3已知函数f（x）=2mx2－2（4－m）x+l，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）.

A.（0，2）B.（0，8）C.（2，8）D.（－∞，0）

解：（1）当m＞0时，g（x）=mx，当x＞0时，g（x）＞0，此时f（x）＞0取值任意；当x≤0时，g（x）≤0，此时需f（x）＞0恒成立.

要使m＞0，当x＞0时，f（x）＞0恒成立.

若Δ=［－2（4－m）］2－4×2m＜0，即m2－10m+16＜0，解得2＜m＜8，恒成立.

（2）当m≤0时不成立.

故实数m的取值范围是（0，8）.

点评：合理地根据参数的取值进行讨论是解决本题的关键，注意讨论要全面.

三、克服分类讨论中的主观性与盲目性

点评：本题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力.问（1）需分x≥2和x＜2两种情况去掉绝对值后再解关于x的方程，此时应注意x的范围与所解方程的根的关系进行恰当取舍；问（2）由于a的取值不同，导致函数y=f（x）在区间［1，2］上可能有单调性也可能没有单调性，为了确定f（x）的最小值，需对a的取值进行分类讨论.在讨论时，确定合理的分类标准是是解好本题的关键.