让过程展示思维风采——从2012年一道高考题看数学思维过程

☉安徽省太湖中学 李昭平（特级教师）

☉安徽省潜山野寨中学 汪和平

让过程展示思维风采
——从2012年一道高考题看数学思维过程

☉安徽省太湖中学 李昭平（特级教师）

☉安徽省潜山野寨中学 汪和平

数学思维的获得在很多情况下是在充分理解题意的情况下，运用观察、联想、猜想，并通过尝试、反思、逻辑表征等，将问题的思路呈现出来，这其中包含着火热的思维活动过程，然后再将问题以严密的符合逻辑的解答形式呈现出来.

在数学解题教学中，我们应尽可能地将火热的数学思维过程揭示出来，从合情推理中寻找思路，掌握转化方法，培养调控能力，鼓励学生始终保持坚定的信念，引领学生经历探究的全过程，学会数学式地思考.下面以2012年安徽省高考理科数学第21题压轴题为例看数学思维的过程.

一、试题分析

（Ⅰ）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c＜0；

（Ⅱ）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列.

第一步：弄清问题，明确思考方向，少走弯路

本题以二次函数为背景，给出了数列的二次递推关系.按照已有的认知，这类问题很难由递推关系求出通项公式（若能求出通项公式，也往往通过对数运算将指数“放”下来，转化为一次递推式）.又由于题目中需要处理的两问都是不等关系，这决定了本题的思维方向不是求出通项.

两问都是讨论数列的单调性，数列的单调性与函数的单调性概念不同.函数的单调性定义是：对于定义在区间D上的任意x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），则函数f（x）是单调递增（减）函数.而数列的单调性定义是：对任意n∈N*，都有an＜an+1（或an＞an+1）成立，则数列{an}是单调递增（减）数列.函数的单调性也可以运用导数来判定，运用导数来判定单调性需先将数列转化为函数，并且要注意数列的离散性，两者之间有差别.

考查函数f（x）=－x2+x+c，知其图像与y轴交于点P（0，c），图像关于x=对称，顶点坐标为）对于问题（Ⅰ），若数列{x}是单调n递减数列，则xn+1＜xn对任意n∈N*都成立，即点（xn，xn+1）在函数f（x）=－x2+x+c的图像上，且图像上任意一点（xn，xn+1）都在直线y=x下方.

对于问题（Ⅱ），求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列.

图1

第二步：拟订计划，用图像显示问题的特征

对于问题（Ⅰ）结合图象特征知数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c＜0.注意充分必要条件需从两个角度加以证明.

图2

第三步：实施计划，将直观图像运用逻辑推理表达出来

综上得数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c＜0.

（Ⅱ）假设{xn}是递增数列，由x1=0，得x2=c，x3=－c2+2c，由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.

第四步：回顾，检查解题过程中的思维是否具有严密性、有无疏漏

上述求解过程实质是由“数列{xn}是单调递增数列”，求得“c的取值范围”，而不是题目所要求“求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列”.但上述过程已将问题的必要条件求出来了，只需证明必要条件也是充分条件即可.若0＜c≤，要证数列{xn}为递增数列，即xn+1－xn=－+c＞0，即证xn＜对任意n≥1成立.

二、变式拓展

加上函数曲线背景，体现交汇性，就得到：

题1 数列{xn}满足：x1=0，且点P（xn，xn+1）在曲线y=－x2+x+c上（c是常数）.

（Ⅰ）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c＜0；

（Ⅱ）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列.

将二次型递推式变为正弦函数型递推式，体现探索性，就得到：

（Ⅰ）证明：an∈［0，1］对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈［0，1］；

此题的命制思路和考查目标，与上述的2012年第21题非常类似.

三、几点启示

2012年安徽省高考理科数学第21题立意新颖、交汇灵活、设计巧妙，避开了高考数列题常常关注递推与通项、前n项和的视角，将数列与函数、不等式、简易逻辑相融合，突出试题的探索性与开放性，充分体现了新课改理念，对考生的思维水平和数学素养都有较高的要求，同时也对考生应变能力与心理素质进行了有效测评，具有很好的选拔区分功能.据高考阅卷信息反馈，本题全省考生中只有一人得满分，比较优秀的考生几乎没有上面第四步的回顾、检验，绝大部分考生找不到解题思路，无从下手，得分率极低.这给我们的启示是：

（1）数学教学要注重培养和发展学生的数学思维能力，在思维的宽度、深度、厚度和广度上下工夫，少做题型猜测.其实，高考命题的一个成功经验是在知识的交汇点处命题.从数学发展史与数学知识体系的演绎过程可以看出，数学与不同分支之间的联系本来就很紧密，因此不同知识点之间的融合命题也很容易.试卷的不少知识的交汇与命题考查点都有效地回避了热点，教学中如果一味地去猜测考题的组合形式，学生在高考中一定是难以找到老面孔的，数学思维必然受阻.

（2）数学的本质是数学思维.数学思维过程是一个将未知与已知相融合的过程，既有同化又有顺应.需要注意的是数学思维过程中要有明确的解题思想和方向，然后再将题目提供的新情境转化为已有的知识体系和方法体系来处理，否则会做许多无用功.在数学解题教学中，要尽可能让过程展示思维的风采，使学生更好地把握数学思维的方法，这对数学学习十分重要.

（3）以上我们从一道最新高考题出发，通过解题思维过程的展示和多方联想得到三个变式拓展结论.在探究过程中，融观察、猜想、证明于一体.高考题往往具有代表性、典型性、示范性和拓展性，备考复习中重视对高考题的研究，能有效培养学生的数学思维，收到良好的复习效果.