转化法求递推数列通项公式

☉江西省永新县禾川中学 郭海华

求递推公式数列通项公式问题，是近几年高考的热点.通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题求解.通过变换递推关系，将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.常用的转化途径有：

一、配凑变换

将递推公式an=can－1+b（b、c是常数，且c≠1）通过配凑变成

例1 已知{an}中，a1=1，an=3an－1+2（n≥2），求an.

解：由an=3an－1+2，得an+1=3（an－1+1），则，即{a+1}是n首项为2、公比为3的等比数列.

an+1=2·3n－1，即an=2·3n－1－1.

二、倒数变换

点评：本题通过对题设中的递推公式取倒数，进而转化、构造出新的等差数列，利用等差数列的通项公式解决问题.

三、除幂变换

将递推公式an+1=can+dn（c、d为非零常数，c≠1，d≠1）除以dn+1变为

例3已知{an}中，a1=1，an=2an－1+2n（n≥2），求an.

四、对数变换

将递推公式an+1=canp（an>0，c.0，p>0，p≠1），取对数得lgan+1=plgan+lgc.

解：两边取常用对数，得lgan=2lgan－1－lga，可变为，则数列为首项、2为公比的等比数列.

五、特征方程法

若数列递推关系是an+1=pan+qan－1（p、q为非零常数），可先求二次方程x2=px+q的两根α、β，则数列{an+1+αan}是以β为公比的等比数列，从而求出原数列的通项公式.我们称这种方法为特征方程法，其中x2=px+q称为递推关系的特征方程.

点评：特征方程法的实质是：

故数列{an+1+αan}是以β为公比的等比数列.

六、利用数列通项与前n项和的关系转化

例6 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=4an+2.

（1）设bn=an+1-2an，证明：数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，则b1=a1-2a1=3.

②－①得an+1=4an-4an-1，an+1-2an=2（an-2an-1）.

又因bn=an+1-2an，即bn=2bn-1.故{bn}是首项为3、公比为2的等比数列.

以上六种方法是将非等差、等比数列转化为等差、等比数列的主要方法，其目的在于转化.只要我们在解题过程中灵活运用，领会其实质，那么我们在求数列通项公式问题时便会得心应手.