再谈不等式证明的常规方法

☉江苏省灌南中等专业学校 夏丽蓉

由于不等式证明的方法较多，且常与函数、数列等知识综合，加上综合性比较强，这就使得这部分内容成为高考的难点.这就要求我们要熟练掌握不等式证明的基本方法的基础上，还要抓住不等式的特征选择最恰当的方法迅速地加以解决.下面举例说明不等式证明常用的几种方法，并就这些方法的应用来举例说明，供读者参考.

一、比较法

比较法是证明不等式的最基本的方法之一，我们常用的是“作差比较法”及“求商比较法”.当欲证的不等式两端是多项式或分式形式时常用作差法；当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时常用求商法.“作差比较法”适用于任何被比对象，但“求商比较法”适用的被比对象必须是正数.

例1（2011年陕西卷）设0

二、综合法

综合法就是从题设条件及不等式的性质出发，逐步推导出所要证明的不等式，简称“由因导果”，应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等式.

三、分析法

分析法是一种执果索因的方法，即从结论出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，从而断定原不等式成立.分析法证明“若A成立，则B成立”的模式是：“要证B成立，只需证B1成立，即证B2成立，只需证明A为真，而已知A成立，故B成立.即B⇐B1⇐B2⇐…Bn⇐A.

又x≥1，y≥1，所以（xy-1）（x-1）（y-1）≥0，从而所要证明的不等式成立.

四、反证法

反证法也叫归谬法，其证明步骤可概括为：

1.否定结论，即假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立；

2.推出矛盾，即由结论反面（称“暂时假设”）出发，通过一系列正确的推导，导出矛盾；

3.否定假设，即由正确推理导出矛盾，说明“暂时假设”不成立；

4.肯定结论，即由于否定“暂时假设”，于是肯定结论成立.

反证法的难点在于从假设出发推导出矛盾，矛盾可能是多种多样的，可与已知矛盾，或与已有的事实矛盾等.

五、数学归纳法

数学归纳法是证明关于自然数n的命题的一种方法，近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式，就显得特别重要.应用中要注意以下三点：

1.充分认识数学归纳法证明分两步走的必要性；

2.注意：假设n=k成立，证明n=k+1成立变形的技巧性；

3.写好结论：注意数学归纳法证题的完整性.

例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，….

（1）求a1，a2；

（2）{an}的通项公式.

下面用数学归纳法证明这个结论.

①n＝1时已知结论成立.

当然不等式的证明方法还有很多，如构造函数利用导数、三角代换、数形结合、构造向量等，但这些方法都是以上5种常规方法的引申或变换，因此解题中同学们在掌握基本方法的基础上，要充分挖掘问题的根源，选择策略，这样才可达到事半功倍之效.