浅析北京市2012届上半年期中、期末对导数及其应用的考查

☉陕西省榆林市第一中学 韩向杰

考向一、对导数的概念及导数基本应用的考查

命题规律：以选择题、填空题等客观题目的形式考查导数的基本概念、运算、导数的物理意义、几何意义及利用导数与不等式研究函数的单调性.

1.（2012年昌平区高三期末考试理8）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′（x）为f（x）的导函数.已知y=f′（x）的图像如图1所示，若两个正数a，b满足（f2a+b）>1，则的取值范围是（ ）.

图1

答案：A.

2.（2012年西城区高三期末考试文11）若曲线y=x3+ax在原点处的切线方程是2x-y=0，则实数a=______.

答案：2.

3.（2012年顺义区高三尖子生综合素质展示10）设函数f（x），g（x）在（0，5）内导数存在，且有以下数据：

2 3 4 3 4 1 4 2 1 1 4 2 4 1 3 1 2 3 3 2 x f（x）f′（x）g（x）g′（x）

则曲线在点（1，f（1））处的切线方程是______；函数f（g（x））在x=2处的导数值是______.

答案：y=3x-1，12.

点评：主要考查复合函数的求导法则，化归与转化的思想，将函数的单调性问题转化为不等式恒成立的问题.

考向二、导数与极值、最值

命题规律：利用导数求函数的极值与最高值是高考常见的题型，要注意极值与最值的区别，本内容也最常用于实际问题.

4.（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习文17）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式

已知每日的利润L=S-C，且当x=2时，L=3.

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.

当x≥6时，L=11-x≤5.

所以当x=5时，L取得最大值6.

所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.

5.（2011年东城区高三示范校高三综合练习（一）理17）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3.

（Ⅰ）求函数f（x）在［t，t+2］（t>0）上的最小值；

（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

解：（Ⅰ）f（x）定义域为0，+（）∞，f′（x）=lnx+1，

当x∈（0，1），h′（x）<0，h（x）单调递减.

当x∈（1，+∞），h′（x）>0，h（x）单调递增.

h（x）在（0，+∞）上，有唯一极小值h（1），即为最小值.

所以h（x）min=h（1）=4，因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4.

6.（2012年顺义区高三尖子生综合素质展示18）已知函数f（x）=x2+ax-lnx,a∈R.

（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）在［1，2］上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e］（e是自然对数的底）时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）当a=0时f（x）=x2-lnx.

（Ⅰ）当a=1时，试求函数f（x）在区间［1，e］上的最大值；

（Ⅱ）当a≥0时，试求函数f（x）的单调区间.

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）.

所以函数f（x）在区间［1，e］上单调递增，则当x=e时，函数（fx）取得最大值

当a=0时，因为f′（x）=-2<0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；

当a>0时，⑴当Δ=4-4a2≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增.

⑵当Δ=4-4a2>0时，即00解得：

点评：本类型的题目主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识，考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力.