圆锥曲线中参数问题的求解策略

☉江苏省灌南高级中学 邵华川

与圆锥曲线有关的参数范围问题，既是高考的重点又是难点.这类问题综合性较大，解题时需根据具体问题灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角等知识，正确地构造不等式，反映了解析几何与其他数学知识的密切联系，体现了“在知识点交汇处命题”的高考命题思想.解决这类问题的基本思想是：通过深入挖掘隐含条件，将问题化归为求函数的值域或解不等式（组）的问题.常见的求解策略有以下几种：

一、利用“Δ”判定法

例1 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（

（1）求双曲线的方程；

由直线l与双曲线C恒有两个不同的交点，得

评注：与直线和圆锥曲线的位置有关或交点个数有关的问题，常采用“Δ”判定法构建不等式（组）求其范围.

二、利用“e”范围法

例2椭圆b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0）与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ.

评注：建立待求参数与相应曲线的离心率e间的函数关系，通过离心率e的范围以确定待求参数的范围.

三、利用坐标范围法

例3 已知F1、F2是椭圆9x2+25y2=225的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线于椭圆交于B点，点A、C在椭圆上，且|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，设弦AC的垂直平分线的方程是y=kx+m，求实数m的取值范围.

解析：设A（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0）为弦AC的中点.

评注：建立待求参数与曲线上点的坐标间的函数关系，利用圆锥曲线的范围（纵、横坐标的有界性或无界性）以确定待求参数的范围.

四、利用隐含条件范围法

例4 试确定m的取值范围，使得椭圆3x2+4y2=12上有不同的两点关于直线y=4x+m对称.

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）为椭圆上关于直线y=4x+m对称的两点，C（x0，y0）为线段AB的中点，则可设直线AB的方程为

评注：通过充分挖掘已知条件中的隐含条件，建立隐含不等式，是求解的关键.

五、利用圆锥曲线的定义法

例5 双曲线C的离心率为e，左右焦点分别为F1、F2，能否在C的左支上找到一点P，使得|PF1|是P到左准线的距离d1与|PF2|的等比中项，若不存在，说明理由；若存在，求e的取值范围.

评注：与焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义建立不等式，结合三角形的正、余弦定理求其范围.

以上各方法之间是相互联系、相互渗透的，同一问题的解决可能可采用多种方法，也可能多法并用，但只要我们对其类型理解掌握，理解其本质，那么便可以很好解决以上问题.