探究一道课本题 推广求解高考题

☉广东省广州市从化中学 杨仁宽（特级教师）

在新课程人教A版数学必修1的第35页，有这样1道例题：

初看此题，平淡无奇，学后常会置之不理！若从多方面进行思考，以多角度进行探究，适当变式并推广，就既能发掘此例题潜藏的重要性质，又能发挥其广泛的应用价值.

一、课本题的变式

新课程教材以此题为例，示范出了判断函数奇偶性的方法与步骤.从研究此函数的性质考虑，就有下列变式题.

（1）求出它的定义域；

（2）判断它的奇偶性；

（3）探讨它的单调性；

（4）如何画出它的图像？

（5）此函数的图像有何性质？

（6）你会用几种方法求出它的值域？

解：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）.

图1

（2）∀x∈（-∞，0）∪（0，+∞），由f（-x）=-f（x），知f（x）是奇函数.

（3）用函数单调性的定义或求导数的方法，可得其单调递减区间是［-1，0）和（0，1］，单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞）.

（4）先用描点法，画出y=f（x）在（0，+∞）上的图像，由奇函数

图像的对称性，可画出y=f（x）的图像（如图1所示）.

（5）此函数的图像关于原点对称.

（6）求此函数的值域，主要有以下方法.

解法1（图像法）：由画y=f（x）的图像可知此函数的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

解法2（判别式法）：设y=f（x），则在函数的定义域内，原式化为：x2-yx+1=0，由x∈R+∪R-，得Δ=y2-4≥0，解得y≥2或y≤-2，

原函数的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

解法3（单调性法）：当x>0时，［f（x）］min=f（1）=2；当x<0时，［f（x）］max=f（-1）=-2.

原函数的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

二、课本题的推广

利用坐标平移或分类讨论等方法，可以对原课本中的题作进一步的推广，除了研究其单调性之外，还可以研究推广命题的对称性、值域等.

三、应用举例

原课本中的题及其推广，在各类考试中，有着广泛的应用，限于篇幅，仅举近年的3道高考题为例.

（1）用a表示出b、c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；

评注：此题以双钩函数为背景，将函数、不等式、数列及其求和等有机地融为一体，证明的关键在于利用双钩函数的性质，观察结构特点，构造对数函数，赋以变量之值，借助对数的运算性质裂项求和，后续的适度放缩，已是水到渠成了！

例3（2008年宁夏、海南理科压轴题）设函数f（x）=ax+1 x+b（a、b∈Z）的图像在点（2，f（2））处的切线方程为y－3=0.

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）证明：函数y=f（x）的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成图形的面积是定值，并求出此定值.

若考虑例3的一般情形，可以得到如下结论.

（1）曲线y=f（x）是以直线x=0和y=ax为渐近线、以原点为中心的对称图形；

（2）曲线上任意一点处的切线与两渐近线所围成的三角形的面积是定值，其值为2|b|；

（3）若曲线上任意一点D处的切线与两渐近线分别交于A、B两点，则D为线段AB的中点；

（4）若直线l与两渐近线分别相交于M、N两点，与曲线相交于P、Q两点，则|MP|=|NQ|.

（1）曲线y=f（x）是以直线x=c和x=a（x－c）+d为渐近线、以（c，d）为中心的对称图形；

（2）曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成三角形的面积是定值，其值为2|b|；

（3）若曲线上任意一点D处的切线与两渐近线分别交于A、B两点，则D为线段AB的中点；

（4）若直线l与两渐近线分别相交于M、N两点，与曲线相交于P、Q两点，则|MP|=|NQ|.

结论1与结论2的证明，详见参考文献3，此处从略.

1.杨仁宽.深挖例题的潜能，践行探究式学习.中学数学［J］，2010（6）.

2.杨仁宽.继承优良传统，探索命题创新——2011年广东高考数学试卷分析.高中数理化［J］，2011（7下）.

3.邹生书.两道高考压轴题的统一引申与推广.中学数学月刊［J］，2011（9）.