中考问题考点透视

☉湖南临武县第二中学 唐孝传

中考问题考点透视

☉湖南临武县第二中学 唐孝传

新的课程标准更多地强调我们用数学知识解决生活中的问题，体现数学生活化和生活数学化.随着新课程的不断深入，中考命题中越来越注重数学知识的运用，其中航海问题就是热点考题之一.这类问题形式多样，新颖独特，生活性强，是对同学们运用数学知识解决实际问题能力的考查.

解决此类问题的关键在于：①弄清题意，将实际问题转化为数学问题；②构造直角三角形，弄清直角三角形中，已知线段、角和未知条件之间的关系；③分析图形特点，从不同角度思考问题.现将有关的考题进行分类整理，供同学们学习时参考.

考点一、求两点间的距离

例1 如图1，客轮在海上以每小时30km的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离为（ ）.

点拨：通过作BD⊥AC于D，将AC分成CD与AD的和，证得△BCD为等腰三角形，利用解直角三角形求出CD和AD的长，问题将得以解决.

故选择D.

考点二、求航行时间

例2 如图2，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处.甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发.

①出发后几小时两船与港口P的距离相等？

点拨：①设出时间这个未知数，利用路程相等，建立方程即可求解；②乙船在甲船的正东方向，实质就是求出发后几小时后乙船和甲船所处点（D点、C点）的连线与南北方向垂直，这样可联想过点P作PE⊥CD于E，AE即为Rt△PCE与Rt△PDE的公共边，因此，运用解直角三角形的方法，利用PE的长为等量关系建立方程，即可求出出发后的时间.

解：①设出发x小时后两船与港口P的距离相等，根据题意得，81-9x=18x解得 x=3.

答：出发3小时后两船与港口P的距离相等.

②设出发y小时后乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处，连接CD，过点P作PE⊥CD于E，则点E在点P的正南方向.

答：约3.7小时后乙船在甲船的正东方向.

考点三、确定方向

例3 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.

求：①A、C两港之间的距离；②确定C港在A港什么方向.

点拨：画出示意图（如图3），证得△ABC是等腰直角三角形，即可求得AC的长和∠CAB的度数，∠CAD就是C港在A港的方位角.

解：①根据题意得，∠ABC=90°AB=BC=10.

②因为△ABC为等腰三角形，所以∠CAB=45°，∠CAD=60°-45°=15°.

所以C港在A港的北偏东15°的方向上.

考点四、求船速

例4 如图4，甲船在A处，测得乙船在甲船的北偏东30°的B处正以每小时10km/h的速度向正东方向行驶，若甲船从东北方向追赶乙船，计划在2小时后追上，求甲船的速度（结果保留根号）.

点拨：延长CB交AD于D，在Rt△ADC中和Rt△ABD中，通过解直角三角形用AD的长分别表示出CD与BD的长，然后利用BC=CD-BD构建方程，求出AC的长，即可求出船速.

解：延长CB交AD于D，由题意可得，CD⊥AD.

考点五、判断船是否被浅滩阻碍（或触礁）

图5

点拨：船是否有被浅滩阻碍的危险，实际是探讨航标C到直线AB的距离与120m的大小关系.通过作CD垂直于AB的延长线D点，在Rt△ACD和Rt△BCD，通过解直角三角形，用CD的长分别表示出AD和BD的长，然后利用AB=AD-BD建立方程，求出CD的长与120m相比较即可.

解：作CD垂直于AB的延长线于点D，设CD=xm.

在 Rt△BCD 中，因为∠CBD=45°，所以 CD=BD=x.

所以这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险.