拓扑空间中几类紧性的非标准研究

陈东立，鲁 莉

(西安建筑科技大学理学院，陕西西安 710055)

1 预备知识

定义1.1［2－3］设X是一个集合，对任意的x∈X，μ(x)为点x的单子.

定义集合X上的拓扑为T={A⊆X:对任意的x∈A，μ(x)⊆*A}∪{∅}，T为开集.

定义1.2 设A是(X，T)的子集，若对于任意的x∈X，μ(x)∩*A≠∅，都有x∈A，则称集合A是闭集.

定义1.3 设(X，T)是拓朴空间，若对于任意的x，y∈X，x≠y，有μ(x)∩μ(y)=∅，则称T是Hausdorff的.

定义1.4 设(X，T)是拓朴空间，若对于任意的闭集A⊆X，及x∉A，有μ(x)∩μ(A)=∅，则称T是正则的.

定义1.5 设(X，T)是拓朴空间，若对于任意的闭集A，B⊆X，有μ(A)∩μ(B)=∅，则称T是正规的.

2 几类紧性的刻画及其相关理论

定义2.1 设A是X子集，若对∀y∈*A，∃x∈A，使得y∈μ(x)，则称A是X的紧子集.

定理2.1［4］设(X，T)是拓朴空间，那么A是X的紧子集，当且仅当A的任意开覆盖有有限子覆盖.

定理2.2 设A是拓扑空间(X，T)的子集，若A是紧的，则对所有的a∈*A有A∩stt(a)≠∅.

证明:因为A是紧的，所以对∀a∈*A，∃x∈A，使得a∈μt(x)，而stt(a)={x∈A|a∈μt(x)}显然x∈μt(a)，所以A∩stt(a)≠∅.

定理2.3 设A是拓扑空间(X，T)的子集，则若对所有的a∈*A有A∩stt(a)≠∅，则μ1(A)=∪{μt(x)∶x∈A}.

证明:对任意的a∈*A有A∩stt(a)≠∅，一定存在x∈A∩stt(a)，使a∈μt(x)，所以有μt(a)∈μt(x)，则∪{μt(a)∶a∈*A}⊆∪{μt(x)∶x∈A}.又μt(A)=∪{μt(a)∶a∈A}，所以μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}.

定理2.4 若拓扑空间(X，T)是紧的，且A是X的闭子集，则A是紧的.

引理2.1 拓朴空间(X，T)是T2的，A为X的紧子集，若x∈X－A，则μ(x)∩*A=∅.

证明:假设μ(x)∩*A≠∅，则存在z，使z∈μ(x)∩*A，z∈*A，存在c∈A，使z∈μ(c)，因为X是T2的，x∈X－A，而c∈A，因此μ(x)∩μ(c)=∅，这与z∈μ(x)∩μ(c)矛盾，所以μ(x)∩*A=∅.

定理2.5［5］T空间的每个紧子集都是闭的.2

定理2.6 紧的T2空间是正则的.

证明:A为X的紧子集，由定理(2.5)知，A为闭的，因为拓扑空间(X，T)是T2的，对任意的x∈A，y∉A，有μ(x)∩μ(y)=∅，又因为A是闭的，所以A是紧的，从而μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}，所以μt(A)∩μt(x)=∅，因此紧的T2空间是正则的.

定理2.7 紧的T2空间是正规的.

证明:A，B为X的紧子集，由定理(2.5)知，A，B为闭的，因为拓扑空间(X，T)是T2的，对任意的x∈A，y∈B，有μ(x)∩μ(y)=∅，又因为A，B是闭的，所以A，B是紧的，从而μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}，μt(B)=∪{μt(x)∶x∈B}，所以μt(A)∩μt(B)=∅，因此紧的T2空间是正规的.

定理2.8 如果对每一个i∈J，Xi是紧的，则也是紧的.

定义2.2 设(X，T)是拓扑空间，A是X的子集，若¯A是紧的，则称A是相对紧的.

定义2.3 点x属于集合A⊆X的闭包，当且仅当存在p∈*A，使得p∈μ(x).

定理2.9 若¯A⊆K，K是紧的，则A是相对紧的.

证明 对∀x∈¯A⊆K，∃y∈*¯A⊆*K，使得y∈μ(x)，K是紧的，所以对上述任意y∈*¯A⊆*K，∃z∈¯A∈K，使得y∈μ(z)，所以¯A是紧的，A是相对紧的.

定理2.10 A是相对紧的当且仅当*A⊆nst(*X).

证明:A是相对紧的，所以¯A是紧的，∀y∈*A⊆*¯A，存在x∈¯A，使y∈μ(x)，y∈nst(*X)，所以*A⊆nst(*X)，命题得证.

定义2.4 x是集合A的聚点，当且仅当存在p∈*A－{x}，使得p∈μ(x).

定理2.11 正则空间中紧集的闭包是紧集.

证明:即需证明:正则空间中，A是紧的，则A是相对紧的.我们知道，¯A=A∪d(A)，若x∈A∈¯A，则因为A是紧的，对∀y∈*A⊆*¯A，∃x∈A⊆¯A，使得y∈μ(x)，若x∈d(A)∈¯A，则存在p∈*A－{x}，使p∈μ(x)，所以¯A是紧的.

定理2.12 如果对每一个i∈J，Xi是相对紧的，则也是相对紧的.

定义2.5 拓扑空间为局部紧当且仅当他的每一点至少有一个紧邻域.

定义2.6 如果对于紧集K，有A⊆K，则称A⊆G是有界的.

定义2.7 设B是G的所有有界子集族，q∈X，Oq={G∈T|p∈G}为q的开邻域系.

定理2.13 如果B∩Oq≠∅，则称G是局部紧的.

证明 因为B∩Oq≠∅，所以设E∈B∩Oq即e∈E，且E为开集，E∈B，E为有界的，则存在K是紧的，使E⊆K，使对任意的y∈*E⊆*K，存在x∈K，使y∈μ(x)，E为开集，x∈E，则E是紧的.则对每一个点q有一个紧领域E.

定理2.14 设(X，T)是拓扑空间，如果X是紧的，则它是局部紧的.

定义2.8 设(X，T)是拓扑空间，由X的紧子集的补集生成的虑子称为X的紧Frechet虑子，记作Fc(x).

命题2.1 对于任意X的紧子集C，Fc的单子满足μ(Fc)∩*C=∅.

定义2.9 如果X的紧子集C使得a∈*C，则称近标准点a∈nst(*X)是紧的.

定理2.15 一个拓扑空间是局部紧的，当且仅当每个近标准点是紧的.

证明

“⇒” 若a是近标准点，则a∈nst(*X)，对任意的x∈stt(a)，有a∈μt(x)，因为X局部紧的，则至少有一个紧邻域V⊆X使得a∈μt(x)⊂*V是近标准的.

“⇐” 设每个近标准点是紧的，则μ(Fc)∩ns1(*x)=∅，对任意标准点x，μ(Fc)∩μt(x)=∅，则对任意的x∈X存在领域V，E⊆Fc使得V∩E=∅，X－E是x的一个紧领域.

［1］Robinson A.Nonstandard analysis［M］.Amsterdam:North－holland，1963.

［2］Davism.Applied nonstandard analysis［M］.New York:wiley，1977.

［3］Luxem BurgWaja.General theory ofmonads［M］.New York:Halt，1969.

［4］陈东立.拓扑的非标准定义［J］.西安建筑科技大学学报，2006，36(3):348－350.

［5］翟美娟.紧性的非标准定义及其性质［J］.纺织高校基础科学学报，2009，22(3):276－278.