近极槽数表贴式永磁同步电机齿顶漏磁分析与计算

彭 兵 夏加宽 王成元 荆汝宝

（沈阳工业大学电气工程学院 沈阳 110870）

1 引言

近极槽数配合的表贴式永磁同步电机在低速应用方面表现出良好的性能，如高转矩密度、高效率、高伺服性能[1-2]，在数控转台、电力机车牵引、机器人肘关节和风力发电[3-6]等场合应用广泛。

目前，对近极槽数配合的表贴式永磁同步电机的研究重点集中于电机的设计方法[7-9]和寄生影响分析[6,10]等方面，而对于齿顶漏磁的研究还不够深入。齿顶漏磁是近极槽数配合的表贴式永磁同步电机的主要漏磁之一，齿顶漏磁的快速、准确计算有助于缩短电机设计周期和提高电机设计的准确性。文献[11]研究了近极槽数配合的表贴式永磁同步电机齿顶漏磁的分布情况和有限元计算方法，但没有给出适合工程设计的解析公式。文献[12]给出了单齿齿顶漏磁的解析表达式，但是没有分析近极槽数配合的表贴式永磁同步电机的整个齿顶漏磁，其计算的平均齿顶漏磁系数不能真实地反映整个电机的齿顶漏磁情况，也没有分析总结出电机参数的变化对齿顶漏磁的影响。

本文在基于文献[12]的单齿齿顶漏磁计算方法的基础上，首先分析齿顶漏磁的特点，接着推导平均每极齿顶漏磁的解析表达式，然后分析近极槽数配合的表贴式永磁同步电机极数和极弧系数的选择对齿顶漏磁系数的影响。最后，以96槽外转子永磁同步电机为例，结合Ansoft有限元仿真软件验证齿顶漏磁分析方法和计算方法的正确性和准确性。

2 近极槽数表贴式永磁同步电机开路磁通

近极槽数配合的表贴式永磁同步电机由于极数和槽数相差不大，除了有普通表贴式永磁同步电机的气隙漏磁和端部漏磁外，还有较大的齿顶漏磁。在转子的某个位置，一个磁极产生的一部分磁通不经过电机的定子齿、定子轭回到另一个磁极，而是被定子的齿顶短路回到另一个磁极，这就是齿顶漏磁。

在任意时刻，半单元电机内通过各齿的主磁通、齿顶漏磁各不相同。图1是一台96槽80极外转子永磁同步电机的有限元仿真磁通分布图，从图中可以看出:齿顶漏磁是主要的漏磁，其在电机中是按半单元电机周期重复的，7～12齿的漏磁就是1～6齿漏磁的复制。

图1 96槽80极外转子永磁同步电机磁通分布图Fig.1 Flux distribution of 96 slots 80 poles PMSM with outer rotor

3 齿顶漏磁系数计算

在某一时刻，每一磁极可能与一个齿或两个齿甚至更多的齿发生磁耦合，计算每极下的齿顶漏磁没有规律可循。但是在转子转过的一个齿距内，通过任一齿的齿顶漏磁与位移是有一定的函数关系的，计算某个时刻下的各个单齿的齿顶漏磁是可能的，然后把所有齿顶漏磁通等效到每个磁极下，再去计算齿顶漏磁系数就极为方便了。

3.1 单齿齿顶漏磁计算

单齿齿顶漏磁的分析与计算在文献[12]中已有详细的描述，本文借助其分析方法进行了更为深入的研究。

假设铁心磁导率为无穷大，永磁体向外磁路提供的磁通为Φm，转子以同步速旋转，|x|为齿中线与临近转子q轴的距离。当转子的q轴距离2齿中线为x≤-(bs+bm-τ)/2时，第一块永磁的右边缘与1齿的右边缘距离为d1，与2齿的左边缘距离为d2，由于d1≤d2，且因铁磁物质的聚磁效应，永磁体1发出的磁通不通过2齿，2齿的齿顶漏磁为零，如图2a所示；转子继续旋转，当q轴与2齿中线重合时，也即x=0，此时，永磁体1有(bs+bm-τ)/2部分发出的磁通通过2齿进入永磁体2，2齿的齿顶漏磁最大，漏磁通为ΦLt=-Φm(bs+bm-τ)/2，如图2b所示；随着转子的旋转，2齿的齿顶漏磁逐渐减小，转子转到图2c所示位置，齿顶漏磁减小为零，此时x=(bs+bm-τ)/2。在一个齿距的其他位置，2齿的齿顶漏磁都为零。图2中，btop为齿顶宽度；bs为槽距；τ为极距；bm为永磁体宽度，bm=αpτ；αp是极弧系数；n为转速。

图2 齿顶漏磁示意图Fig.2 Illustrating calculation of zigzag leakage flux

由上述定性分析，结合有限元仿真，可以得到任意一个齿在一个齿距内的齿顶漏磁通曲线，如图3所示。

图3 ΦLt和|x|的近似关系Fig.3 Approximate relationship between ΦLt and |x|

图3中，z为槽数；p为极对数；Φm为永磁体向外磁路提供的磁通；ΦLt为齿顶漏磁通；Dg为气隙直径。

由图3可写出单齿齿顶漏磁ΦLti的方程式

3.2 平均每极齿顶漏磁计算

在任意时刻，单个齿的齿顶漏磁并不相同，计算任意时刻齿顶漏磁必须计算出该时刻所有齿顶漏磁之和，计算比较繁杂。在整个电机中，齿顶漏磁具有周期性的特点，如果能找到重复周期数，就只要计算一部分齿的齿顶漏磁，大大减小了计算量。

当齿中线和q轴重合时，齿顶漏磁最大，可以计算任意时刻齿中线和q轴的重合数，重复周期数就是重合数。

其漏磁重复周期数为z和2p的最大公约数（GCD），漏磁重复周期数为分数槽电机中的单元电机数的2倍。以96槽80极电机为例，GCD（z，2p）=GCD（96，80）=16，则其漏磁重复周期数为16。

则i与k组合有:（1，1）、（7，6）、（13，11）、（19，16）、…，这说明第1个齿的中线和靠近第1个磁极的q1轴重合，第1个齿的的齿顶漏磁最大，第7个齿的中线和靠近第6个磁极的q6轴重合，第7个齿的齿顶漏磁最大，依次类推，重复数为16。

为了方便计算齿顶漏磁系数，把所有齿顶漏磁等效到每个极下，计算每个极下的平均齿顶漏磁。所以求每个极下的平均齿顶漏磁，只要先求出相邻z /GCD(z, 2p)个齿的齿顶漏磁之和，然后再除以2p /GCD(z, 2p)，就得出每个极下的平均齿顶漏磁。根据图3和式(1)可知，求齿顶漏磁的关键之处是求解各个齿与其相邻最近q轴的距离xi的值。

把xi的值代入到式（1）中就得到各个齿的漏磁ΦLti（xi），则平均齿顶漏磁为

则齿顶漏磁系数为

4 实例分析

4.1 齿顶漏磁案例计算

电机的相关参数见表1。

表1 电机参数Tab.1 Electric machine parameters

由式（5）求出第i个齿与第k个q轴的距离，计算数据见表2，表2每一列上的最小数就是所要求的 xi值，又根据式（1）可知 xi值在[0，5.27]区间时，ΦLti不为0，其余均为0，与xi对应的单齿齿顶漏磁通见表3。由式（6）可求出每个极下的平均齿顶漏磁通为ΦLtave=0.1576Φm。由式（7）可得σLt=1.187。

表2 齿中线与q轴的距离Tab.2 The distance between q axis and tooth centerline

表3 任意时刻相邻6个齿的齿顶漏磁Tab.3 The zigzag leakage flux of adjacent six teeth at random moment

由表2可以看出，第四齿的齿顶中线与第三个q轴和第四个q轴的距离相等，这也说明第三块磁极与第四个齿完全正对，齿顶漏磁为零。这与分析结果一致，也与图1仿真结果完全一致。

4.2 电机参数对漏磁系数的影响

由式（1）可知，齿顶漏磁系数与极数、极弧系数和气隙直径有直接的关系，找到电机参数对齿顶漏磁的影响规律将有助于指导电机的优化设计。采用上文的解析法计算了96槽、411mm气隙直径和54槽、311mm气隙直径的电机在不同极数和极弧系数下的齿顶漏磁系数，得到齿顶漏磁系数随极数、极弧系数的变化趋势如图4所示。

图4 齿顶漏磁系数与电机参数的关系Fig.4 Relationship between the zigzag leakage flux coefficient and the electric machine parameters

由图4看出，随着极数的增加，齿顶漏磁增大了；随着极弧系数的增加，齿顶漏磁也增大了。

4.3 有限元验证

表4是96槽、极弧系数为0.82、气隙直径为411mm的电机在不同极数下分别由解析法和有限元法计算出的齿顶漏磁系数及偏差。

有限元法计算齿顶漏磁是利用Ansoft有限元仿真软件计算半个单元电机通过齿顶部（q1～q6间的6个齿）的总磁通与通过齿中间部位（q1～q6间的6个齿）的总磁通的比值就是齿顶漏磁系数。解析法计算结果与有限元法计算结果相比，两者的偏差小于1.5%，这表明齿顶漏磁分析方法正确，解析法有非常高的精度。

表4 两种方法计算的齿顶漏磁系数结果及偏差Tab.4 Two methods calculation results of zigzag leakage flux coefficient and the deviation of the results

5 结论

本文分析了近极槽数配合表贴式永磁同步电机齿顶漏磁的特点，通过平均每极齿顶漏磁的计算方法，建立了平均每极齿顶漏磁和漏磁系数的解析表达式，该解析表达式只与电机的槽数、极数和极弧系数有关。还研究了齿顶漏磁系数与电机参数的关系，发现齿顶漏磁系数随极数的增加而增加，随极弧系数的增大而增大的规律。最后通过有限元仿真分析解析计算结果，两种方法计算结果极为接近。

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