2011年上海市中考数学压轴题解析

☉上海市浦东教育发展研究院 黄家礼（特级教师）

中考数学压轴题一般是指选择题、填空题和解答题的最后一题.近几年上海市中考数学命题一直坚持易、中、难试题分值所占比例按8∶1∶1设计，中档题和较难题各占10%，这两类试题分散在不同题型中，不把所有难点放在同一题型中的做法，有利于不同层次学生的区分，也有利于合理诊断学生解决问题过程的认知情况.对上海卷而言，压轴题就是第6题、第18题和第25题，它们相对于整个试卷更多地承担着选拔的功能，要想获得高分，会解这三道题是关键.

一、压轴题的特点

压轴题的特点一般有：（1）综合性强，涉及的考点多.（2）解题过程复杂，思维容量大，一般需要较多步骤的推理和计算，需要分析、综合或分析综合协同作战.（3）结构层次高，根据彼格斯提出的SOLO分类的五个层次水平：前结构水平（PS水平）、单点结构水平（US水平）、多点结构水平（MS水平）、关联结构水平（RS水平）和抽象拓展结构水平（EA水平）.压轴题一般属于后三种水平结构，即多点结构、关联结构和抽象拓展结构水平.以2011年上海市中考压轴题为例：第6题（RS水平）、第18题（ES水平）、第25题第（1）小题（MS水平）、第（2）小题（RS水平）、第（3）小题（EA水平）.其中抽象拓展结构（EA水平）的试题，需要对问题进行抽象、概括，需要把知识用于新情况，解题过程需要对所给素材进行分析、归纳、重组，进行合乎逻辑的演绎，体现较高的思维水平.

二、解压轴题的基本策略

解压轴题是一个复杂的过程.没有也不可能有“无题不解”的万能钥匙.否则数学就失去了它的魅力.怎样解压轴题，笔者认为可考虑如下基本策略.

1.双向分析

压轴题往往不可能找到“一眼看穿”的方法.双向分析就是从条件延伸和由结论倒溯相结合，如果两者能实现对接，从而找到中间环节，最后接通整个解题通道.

双向分析示意图

这种“两头凑”的方法，将分析与综合相结合，往往是解压轴题的有效方法.

2.问题转换

波利亚在《怎样解题》中指出：“当我们要解决的问题比较困难时，我们可能感到很有必要……把问题再分解成几个问题.”“司马光砸缸”的故事传诵千古，要从水缸中救人，就要使人离开水.如果一时无法让人离开缸和水，也可以让水离开缸和人，同样可以实现救人的目的.司马光的机智在于在较短的时间内，解决了下面几个基本命题：（1）石头可以把缸砸破；（2）缸砸破后水会流出；（3）水流出缸里的小孩可得救.

3.模式识别

模式有多种，不同的模式有不同的解题套路.确定了模式，就可以调动对应的信息，进而寻找解题方法.模式识别是将一个复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，陌生的问题熟悉化，实际的问题数学化，未知的问题已知化.

4.通法优先

通法是解决问题的一般的、通用的方法.掌握解决某类问题的通法，我们就可以把握这类问题.思考时通法优先，体现的是一种数学素养.通性通法是中考考试的目标之一，所以通法优先是解压轴题的基本策略之一.

三、2011年上海市中考压轴题解析

下面通过对2011年上海市中考数学压轴题的解析，谈谈上述解题策略的应用.

选择题压轴题（原卷第6题）：矩形ABCD中，AB=8，BC=3，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心、PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）.

A.点B、C均在圆P外 B.点B在圆P外、点C在圆P内

C.点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B、C均在圆P内

这道题将直角三角形、矩形、圆等知识融于一体，涉及的考点有勾股定理、矩形性质、点与圆的位置关系，还涉及到计算、推理、作图，文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转译等（此题没有提供图形）.

图1

从结论入手，我们要判断点B与圆P的位置关系，点C与圆P的位置关系.

将问题转化，可以得到以下基本问题：

问题1如图2，点P为线段AB上一点，AB=8，BP=3AP，则PA______，PB=______.（答案：2，6）

图2

图3

图4

问题2如图3，在Rt△APD中，∠A=90°，AD=3，AP=2，则PD=______（.答案：7）

问题3如图4，在Rt△PBC中，∠B=90°，PB=6，BC=3，则PC=______（.答案：9）

问题4圆P的半径为7，PB=6，PC=9，则点B在圆P______，点C在圆P______（.添“内”“、上”或“外”）（.答案：内，外）

依次解决问题1～问题4，即可得出原题的正确结论：C.

问题1～问题4，都是基本（模式）问题，解决这几个基本问题有通用方法.问题1～问题4构成原题题设与结论之间的一个通道！可见，通过分析，将问题转化为基本问题是解决这道压轴题的关键.

填空题压轴题（原卷第18题）：Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图5）.把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=______.

图5

排除旋转中的无关因素，抓住关键因素：即点B绕点D旋转，或者线段DB绕点D旋转.可把问题转化为下面的两个基本问题：

问题1如图6，在△ABC中，∠B=50°，以CB上的点D为圆心，DB为半径画弧，交AB于点E，则∠1=____度.（答案：80）

图6

图7

问题2 如图7，D为△ABC的边CB上一点，BD=2CD，以D为圆心，DB为半径画弧，交AC于点F，则∠2=______度.（答案：120）

故答案为80和120.

解决问题1、2并不难，难在将原问题转化为这两个基本问题.

（1）如图8，当点E与点C重合时，求CM的长.

图8

图9

（2）如图9，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域.

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长.

问题1如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP⊥AB，P为垂足，若BC=30，AB=50.求AC和CP（.教材类题（教材为人教版，下同）：九（上）练习部分P18第2题.答案：40，24）

图10

图11

图12

第（2）小题是求变量y（NB）关于x（AP）的函数关系式，而y=50-x-PN.只要把其中的PN用x表示就可以了.由此又可得基本问题3～问题5.

图13

图14

图15

问题6如图15，M、N为线段AB上两点，EM=EN，△AME∽△ENB，△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应，求证：EM2=AM·NB.（教材类题：九（上）P39练习24.5（2）第2题）

问题8解方程：x2-22x=0（.教材类题：八（上）P30例题4.答案：0，22）

问题9如图16，已知∠2=∠3，求证：∠4=∠5（.教材类题：七（下）P84例题5）

图16

图17

问题10如图17，已知∠C=∠EPM=90°，∠4=∠5，求证：△ACE∽△EPM（.教材类题：九（上）P22问题1）

图18

由于点E有可能在AC上，也可能在BC上，所以要分两种情况讨论.上面通过分析、转换，把这道压轴题转化为13个基本问题.这样就搭建起题设与结论之间的一个“通道”（图20）.

由此看来，应用基本策略，将压轴题转化为基本问题，解出基础题，是解压轴题的关键.具体地要抓好如下环节：（1）认真审题.审题是基础，只有正确地审题，才能准确、全面地理解题目所给的信息，并且有效挖掘题目所蕴含的信息.进而建立起已知、未知与已掌握知识间的联系，对已有信息进行合理地分解组合，找到有逻辑关联的基本“问题链”，为搭建“通道”提供保证.（2）问题转化.问题转化是将一个复杂的问题按照某种关联不断地对题设、结论进行分离、重组，将原问题转化为多个新问题，直到每个新问题都为基本问题为止.常用方法有：由因导果、执果索因，分析与综合协同作战；数形结合、分类讨论等思想方法灵活应用.同时对题目的各部分特征要深入分析，要尽可能找到它们之间的联系，充分发挥各自的作用，这种“充分”有时要达到“见缝插针”“无孔不入”的程度.（3）要夯实基础.对于“主干知识”和“核心内容”，若只是“懂”和“会”还不行，要达到“熟”和“巧”这一层次.只有熟能生巧，才能融会贯通.从2011年上海市中考数学压轴题的分析我们看到，所用到的基础知识都源于教材.因此，那种丢纲脱本的做法是不可取的.