挖掘教材习题内涵，提高变式教学的有效性

☉江苏省灌南县李集中学 乔凤楼

数学教学，是以新课程标准为准绳，以教材为依据的教学活动，《新课程标准》中对教师提出明确要求：理解教材的编写意图，体会其中所蕴含的数学思想、方法，抓住时机对学生进行思维训练和辩证唯物主义的教育.而教材的容量有限，是在新课程标准下精选的内容，因此，教师在备课、设计导学案时，就应该认真研读教材，深挖教材，体会编者的意图，挖掘教材中例题，对例题进行变式教学，从而有的放矢地进行教学活动.变式教学是利用构造一系列变式的方法，来展示知识发生、发展和发散的过程，展示数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，以及创设暴露思维障碍的情境，从而形成一种思维训练的有效模式.它的主要作用在于凝聚学生的注意力，培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力.它能做到结构清晰、层次分明，使优、中、差的学生各有所得，尝试到成功的乐趣，并激发学生的学习热情，达到举一反三、触类旁通的效果，使他们的应变能力得以提高，进而提高教学质量.如何挖掘教材内容，提高变式教学的有效性呢？笔者从以下几个方面进行论述：

一、图形变式

初中数学中的几何知识的学习是培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力的重要载体，学生对图形的认识能力也是由具体到抽象、由简单到复杂过渡的，教师如果能在教学中把有些习题的图形加以变化，借助变化来反映图形中的基本图形的位置关系，让图形动起来，引导学生去思考探讨，那么可以使学生真正掌握知识之间的内在联系.

图1

例1（苏科版九年级数学上册，第154页第14题）如图1，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A的直线分别交⊙O1、⊙O2于点E、F，⊙O1的弦交⊙O2于点D，判断EC与DF的位置关系，并说明理由.

分析：作公共弦AB，通过“同弧所对的圆周角相等”，“内错角相等”、“两直线平行”容易推出“EC∥DF”.

解：连接AB，所以∠1＝∠F，∠1＝∠2（同弧所对圆周角相等）.所以∠2＝∠F，所以CE∥DF.

变式1：仔细观察图形，就是两圆相交于点A、B，过点A的直线分别与⊙O1、⊙O2相交于点E、F，过点B的直线分别交⊙O1、⊙O2于点C、D，交点位置、直线位置、圆与圆的位置都能改变图形和题目的面貌，结论仍然成立吗？（图略）

变式2：过点A的直线EF绕着点A旋转，过点B直线CD绕着点B旋转（与圆交点不重复），得到的图形，原结论仍然成立吗？（图略）

二、变换题设或结论

即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究.这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质.

例2在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点.求证：CE⊥BE.

变换1：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE，E是AD中点.求证：BC=AB+CD.

变换2：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CE⊥BE.判断E是AD的中点吗？为什么？

图2

点评：运用逆向变式培养逆向思维能力.在教学中培养学生的双向思维习惯，这种训练要保持经常性和多样性，逐步优化他们的思维品质.

三、关键词变换

用方程思想解决文字题和应用题一直是低年级学生感到特别困惑的问题，初中教师在教学中经常为有些低年级学生“熟练而顽固”地运用算式求解感到哭笑不得.变式训练在教学中的运用使这类问题（特别是应用题）的求解既充满乐趣又富有挑战，极大地调动了学生对数学知识、方法学习的迫求心情.

例3小明和小丽在400米的环形跑道上比赛，小明的速度是每分钟360米，小丽的速度是每分钟320米，如果两人同时同地反向出发，问：几分钟后两人再次相遇？

分析：这是一个非常常见的“相遇问题”，大部分的学生在思考之后就能轻易地找到解决方法.在课堂教学中，教师通过“变变文字”的方法，再次使问题具有趣味性.

变式1：小明和小丽在400米的环形跑道上比赛，小明的速度是每分钟360米，小丽的速度是每分钟320米，如果两人同时同地同向出发，问：几分钟后两人再次相遇？

变式2：小明和小丽在400米的环形跑道上比赛，小杰的速度是每分钟360米，小丽的速度是每分钟320米，如果两人同时同地同向出发，问：几分钟后两人第二次相距100米？

点评：本组例题的训练使学生对行程问题中的数量关系更清晰，思维训练更丰富，基本达到了使低年级学生理解用方程思想处理应用问题的要求.采用对一题多变和开放性题目的探讨，培养思维的创造性.教学中，在加强双基训练的前提下，运用一题多变和将结论变为开放性的方式来引导学生独立思考，变重复性学习为创造性学习.创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点，是思维的高层次化.实践证明，教学中经常改变例题结论，引导学生自编一些开放性题目，对激发学生兴趣，培养其研究探索能力，发展创造性思维大有益处.

四、针对解决的问题进行变换

九年级下学期苏科版教材，锐角三角函数的简单应用中的第二课时，测量问题，在教学中，首先抓住两个特殊三角形以及把这两个直角三角形重叠组合图形的分析，反复地、由浅入深地对基本图形进行分析，使学生对以这两个三角形作为基本图形的变化规律有进一步地认识.在此基础上，实际应用问题就迎刃而解了，课堂流程是“基本知识复习——建立数学模型——实际应用”，教学中，有方法，有手段，本节课教学，能把两个基本三角形和两个三角形的组合图形讲深，讲透，并且能建立好数学模型，这样，解决实际应用问题有水到渠成的感觉.尤其是变式训练，问题精选，举例从地上长的大树，天上飞的飞机，海里游的轮船.说明生活中到处都是数学，激发了学生的学习兴趣.

例4如图3，小明家的院子里有一棵大树，他想利用测角仪测量树的高度.已知他离树的水平距离BC为5m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为30°.求树的高度AB.

图3

变式1：同时邻居小华在自己家也利用测角仪测量树的高度.已知他在P处测得树顶A的仰角为30°，他沿PB的方向前进7m到达Q处，在Q处测得测得树顶A的仰角为45°，测角仪的高度CD为1.5m.求树的高度AB.（图略）

变式2：为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°.若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢？（精确到0.01m）

点评：变式训练能把较多的（特别是相近的、同类的）知识串在一起，使学生通过较少的习题，获得较大的收获，不仅达到减轻学生负担、摆脱题海战术、切实提高教学质量的目的，还通过题目的拓宽、加深、变化，培养学生的创新意识和创新能力.这种教学策略能紧扣教材，通过适当变形，使学生更清楚地了解命题的来龙去脉，在探索命题演变的过程中能极大丰富学生的发散性思维，是值得初中数学教师重视的重要教学策略.