基于delta方法泊松分布参数的近似信仰推断

谭常春， 邓晴晴， 周 尧

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

基于delta方法泊松分布参数的近似信仰推断

谭常春， 邓晴晴， 周 尧

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

文章主要研究了Poisson分布参数λ的近似信仰推断，利用对数变换后的估计量的渐近正态性对λ建立近似的枢轴方程，并得到其近似信仰分布和置信区间。模拟结果表明，近似信仰区间与Wald置信区间的平均长度几乎无差异，但近似信仰置信区间覆盖概率明显优于Wald置信区间的覆盖概率。

Poisson分布；delta方法；近似信仰推断；枢轴方程

泊松分布是最基本的离散分布，不仅在离散数据的分析处理中处于重要的地位，而且在管理科学、运筹学及自然科学等实际问题中有非常广泛的 应 用［1－3］。 目 前 多 数 利 用 Bayes 方 法［4］、Bootstrap方法［5］研究泊松分布参数的区间估计。

信仰推断是Fisher在19世纪30年代初期引进的一种构造区间估计的方法。其基本观点是：设要作θ的区间估计，在抽样得到样本（X1，…，Xn）前，对θ一无所知，样本（X1，…，Xn）透露了θ的一些信息，据此可以对θ取各种值给予不同的“信任程度”，而这可用于对θ作区间估计。这种方法不是基于传统的概率思想，但对某些困难的统计问题，特别是著名的贝伦斯－Fisher问题，提供了简单可行的解法。近年来，信仰推断得到了迅速的发展，特别是利用枢轴方程得到的信仰推断［6－8］，为小样本提供了比较精确的推断结果。但是能够利用枢轴方法的只有某些具有特定性质的连续性分布，离散分布的信仰分布研究比较少，目前只有二项分布的信仰推断［9］。

本文利用近似的枢轴方程代替精确的方程，给出了Poisson分布的近似信仰推断。对λ作对数变换（λ）＝ln（λ＋δ），由变换后函数（λ）的估计量（）的渐近正态性建立关于参数λ的近似枢轴方程，并且导出其近似信仰分布，由此分布构造参数的置信区间。模拟研究表明，该区间比Wald置信区间有更好的小样本频率性质。

1 Poisson分布的近似信仰分布及置信区间

设X1，…，Xn为i.i.d样本，X1～P（λ），其中λ∈（0，＋∞），λ的矩估计和MLE估计＝，由MLE的渐近正态性：并应用Slutsky定理得：

可以得到λ的100（1－α）%Wald置信区间为：

由于正态随机变量取值在整个实轴上，而λ＞0，通过对λ作一个连续可导变换h（λ），使其取值于整个实数。而且上述Wald置信区间可能出现下限小于0，为避免出现这种情况，令h（λ）＝lnλ，由delta方法可得：

应用Slutsky定理得：

对给定的α，可得：

在λ较小时，此置信区间覆盖概率比较差。考虑到在λ接近0时，此置信区间不理想，对h（λ）进行截尾，令（λ）＝ln（λ＋δ），其中δ＝0.15×，δ的取值参照文献［9］，而且根据模拟研究，这是一个较好的取法。由delta方法可知：

其中，η＝λ／（λ＋δ）2。

同理由Slutsky定理得：

由（2）式可以建立近似枢轴方程，即

解出λ，可得：

类似区间2的推导过程，可以得到100（1－α）%置信区间为区间3：

在给定 ｛Xk，k＝1，…，n｝ 后，Rλ的条件分布可以看作λ的一种近似信仰分布，区间3即为该近似信仰分布所对应的等尾置信区间。

2 数据的模拟比较

在本节数据模拟中，取α＝0.05，模拟次数为10 000，n＝30时，截尾前后的近似信仰区间（为方便记，以下均写为Fiducial置信区间）的覆盖概率如图1所示。

图1 截尾前后的Fiducial置信区间的覆盖概率比较

分别在n＝10、15、30、100时，模拟出参数λ的Wald置信区间与Fiducial置信区间的覆盖概率，模拟结果如图2所示。

图2 Wald置信区间与Fiducial置信区间的覆盖概率比较

由图2可以得出，对于小样本（n≤30），Fiducial置信区间的覆盖概率小于名义水平所对应λ的个数，比Wlad置信区间的覆盖概率小于名义水平所对应λ的个数少。

对于小样本，当λ接近0时，Wald区间的覆盖概率基本上在名义水平之下，而近似信仰区间几乎都在名义水平之上；当样本量逐渐增加时，这2种区间的覆盖概率趋近于名义水平。

由于Fiducial置信区间与Wald置信区间的覆盖概率在样本量趋于无穷时都趋于名义水平，因此在小样本情况下比较两者的表现。比较的标准是覆盖概率CP（coverage probability）和平均长度AL（average length）。n＝15时，Fiducial置信区间与Wald置信区间的平均长度的比较如图3所示。

图3 Fiducial置信区间与Wald置信区间平均长度比较

Fiducial置信区间与Wald置信区间的覆盖概率和平均长度比较见表1所列。

表1 Fiducial置信区间与Wald置信区间比较

由图3和表1可得，对于小样本，从整体来看，Fiducial区间长度和 Wald区间长度相差无几。从局部来看，对于小样本，虽然Fiducial区间相对Wald区间有一些保守，但是它的覆盖概率更加可靠。样本量越大，对每一个固定的λ，其区间长度越小。

3 结束语

本文研究了Poisson分布参数λ的近似信仰区间估计，由λ的对数变换~h（λ）＝ln（λ＋δ）的估计量~h（＾λ）的渐近正态性，结合delta方法构造了λ的近似枢轴方程，导出其近似信仰分布，给出了它的等尾置信区间。模拟分析表明，对于小样本，利用这种方法构造的区间估计的覆盖概率明显高于Wald区间估计的覆盖概率，而且这2种区间长度几乎无差异。

［1］何惠珍.商业银行度量同性质风险总额的计算方法［J］.统计与决策，2008（19）：29－31.

［2］颜亦琪，易建军，孙华安.泊松分布在水文频率计算中的应用［J］.人民长江，2010，41（12）：92－94.

［3］黄清泉，洪 沙，吴垣甫.多处理器片上系统数据队列交易级分析［J］.计算机应用，2008，28（4）：1049－1051，1080.

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［5］姚源果，夏开萍，罗朝晖.Bootstrap方法下的Poisson分布置信区间的估计［J］.广西民族大学学报：自然科学版，2008，14（2）：55－57.

［6］Xu Xingzhoug，Li Guoying.Fiducial inference in the pivotal family of distributions［J］.Science in China，2006，49（3）：410－432.

［7］李新民，李国英，徐兴忠.限制参数空间上的Fiducial推断［J］.系统科学与数学，2005，25（6）：729－737.

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［9］熊世锋，牟维嫣.二项分布基于logit变换的近似信仰推断［J］.系统科学与数学，2009，29（8）：1071－1078.

Approximate fiducial inference for the parameter of Poisson distribution based on delta method

TAN Chang－chun， DENG Qing－qing， ZHOU Yao
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

This paper mainly discusses the approximate fiducial inference of Poisson distribution with the parameterλ.An approximate pivotal equation aboutλis constructed based on the asymptotic normality of a logarithmic－transformed estimator.Then an approximate fiducial distribution and confidence interval of the Poisson parameter are obtained.The simulation results indicate that the average burst length of the approximate fiducial interval and the Wald confidence interval is almost the same，but the coverage probability of the approximate fiducial interval is obviously superior to the Wald confidence interval’s.

Poisson distribution；delta method；approximate fiducial inference；pivotal equation

O212.2

A

1003－5060（2012）03－0421－03

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.030

2011－05－03；

2011－06－29

教育部重大专项资助项目（309017）；中央高校科研业务费专项资金资助项目（2011HGXJ1078）

谭常春（1977－），男，安徽庐江人，博士，合肥工业大学副教授，硕士生导师.

（责任编辑 闫杏丽）