环＋＋…＋上的一类常循环码

李 岩， 朱士信

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

环＋＋…＋上的一类常循环码

李 岩， 朱士信

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

文章研究了环R＝＋＋…＋上任意长的（1＋uβ）－常循环码的结构，确定了环R上长为N＝的不同的（1＋uβ）－常循环码的个数和这样的码所含码字的个数，并得到环R上的（1＋uβ）－常循环对偶码的结构。

常循环码；Galois环；对偶码；离散傅里叶变换；零化子

0 引 言

有限域上的编码理论已经比较成熟，在文献［1］中得到某些二元非线性码可以看作是Z4环上的Gray像，使得近年来环上码的研究成为编码理论学家研究的一个热点。特别地，有限环上常循环码的研究也成为研究热点之一。文献［2］研究了Z4上奇长负循环码；文献［3］运用变换的方法将Z4上所有偶长的负循环码分类；文献［4］研究了环Z4上的循环码的生成元；文献［5］研究了有限链环上循环码和负循环码的结构；文献［6］研究了GR（2a，m）上长为2s的负循环码的结构，并确定了这些负循环码的汉明距离；文献［7］研究了F2＋uF2＋u2F2上线性码及其Gray像；近年来重根循环码得到广泛的研究，文献［8－9］研究了Fp［u］／〈um〉及上一类任意长的常循环码，文献［10］研究了Z2a上偶长的对偶和自对偶负循环码。

本文研究了环R＝Fpm＋uFpm＋…＋uk－1

上任意长的（1＋uβ）－常循环码，得到R的Galois扩环上的长为ps的（1＋uβ）－常循环码的结构，并用这些码来构造R上长为N＝psn的（1＋uβ）－常循环码，其中（n，p）＝1；确定了R上给定长的不同的（1＋uβ）－常循环码的个数和这样的码所含码字的个数；得到了环R上的（1＋uβ）－常循环对偶码的结构。

1 基本概念

设R＝Fpm＋uFpm＋…＋uk－1，其中uk＝0。R是局部环，其极大理想为〈u〉，剩余域为。设q＝pm，N＝psn，其中（n，p）＝1。环R上长为N的码C是RN的一个R－子模，定义循环置换σ：RN→RN为：（c0，c1，…，cN－1）→ （cN－1，c0，…，cN－2）。对环R中任一可逆元λ，定义λ－常循环置 换σλ：RN→RN为：（c0，c1，…，cN－1）→（λcN－1，c0，…，cN－2）。如果C为R上的码，满足σ（C）＝C，则称码C为循环码。如果σλ（C）＝C，则称码C为λ－常循环码。对于任意c＝（c0，c1，…，cN－1）∈C，设c（x）＝c0＋c1x＋…＋cN－1x（N－1）为其在环R［x］／〈xN－λ〉中的多项式表示，则C是环R上的λ－常循环码等价于C（x）是环R［x］／〈xN－λ〉的理想。

设为f（x）∈R［x］模u化简后的多项式。若在［x］中不可约，则称f（x）在R［x］中基本不可约。设R的 Galois扩环为GR（R，r）＝R［x］／〈h（x）〉，其中h（x）是R［x］中次数为r的首一基本不可约多项式。则GR（R，r）是局部环，其极大理想为〈u〉，剩余域为。设I是模n的q－分圆陪集的代表组成的集合，r是q模n的阶，ξ是中的n次本原单位根。由Hensel引理知GR（R，r）也包含一个n次本原单位根ξ。设u＝（u0，u1，…，uN－1），v＝（v0，v1，…，vN－1）∈RN。定义u和v的内积为：

如果u·v＝0，则称u和v正交。设C是R上长为N的线性码，定义C⊥＝｛u｜u·v＝0，∀v∈C｝。如果C⊆C⊥，则称C是自正交的。如果C＝C⊥，则称C是自对偶码。

定义1 设I是R［x］／〈xN－λ〉的理想，定义A（I）＝｛g（x）｜g（x）f（x）＝0，∀f（x）∈I｝为I的零化子，则A（I）也是R［x］／〈xN－λ〉的理想。

定义2 设f（x）＝a0＋a1x＋…＋arxr∈R［x］／〈xN－λ〉，则f＊（x）＝xrf（x－1）＝ar＋ar－1x＋…＋a0xr称为f（x）的互反多项式。

2 主要结果

2.1 （1＋uβ）－常循环码

下面研究R上长为N＝psn的（1＋uβ）－常循环码，其中（n，p）＝1，β为R中单位（即β＝β0＋uβ1＋…＋uk－1βk－1，其中β0为Fpm中非零元，βi∈Fpm，1≤i≤k－1）。记RN＝R［x］／〈xN－（1＋uβ）〉。定义μ：RN→Fpm［x］／〈xN－1〉为：∀f（x）∈RN，μ（f（x））＝f（x）（modu），则μ是 环 同 态。 记R（v，r）＝GR（R，r）［v］／〈－（1＋uβ）〉。类似于文献［8］中引理3.1的证明可得下面引理。

引理1 在R（v，r）中，v－1是幂零的，且幂零指数为psk。

定理1 环R（v，r）是有限链环，其极大理想为〈v－1〉，剩余域为。R（v，r）的理想为〈（v－1）i〉，其中0≤i≤psk。

由引理1知u＝（v－1）ps β－1，因 此 存 在g（v）∈R（v，r），使得f（v）＝a00＋（v－1）g（v）。

如果a00＝0，则由（v－1）幂零可得f（v）＝（v－1）g（v）是幂零的。

如果a00≠0，a00是Fqr的单位，则f（v）＝a00＋（v－1）g（v）。设h（v）＝（v－1）g（v），t＝psk，则1＝1＋ht（v）＝（1＋h（v））（1－h（v）＋h2（v）－…＋ht－1（v）），因此f（v）可逆。故f（v）不是可逆的当且仅当a00＝0。此时有f（v）∈〈v－1〉，因此R（v，r）是局部环，其极大理想为〈v－1〉。则R（v，r）是有限链环，其极大理想为〈v－1〉，剩余域为，且R（v，r）的 理 想 为 〈（v－1）i〉，其中0≤i≤psk。

推论1 设C是GR（R，r）上长为ps的（1＋uβ）－常循环码，则C＝〈（v－1）i〉⊆R（v，r），其中0≤i≤psk，且C中码字个数为：

证明 因为GR（R，r）上长为ps的（1＋uβ）－常循环码恰好是R（v，r）的理想，故第1部分成立。又因为R（v，r）是有限链环，其剩余域为Fqr，故第2部分成立。

由于R（v，1）＝R［v］／〈－（1＋uβ）〉，则对∀a∈R（v，1），有a＝a0＋a1x＋…＋，其中ai∈R。设∀c∈Rn（v，1），则c＝＋），其中∈R，0≤i≤ps－1，0≤j≤n－1。定义映射φ：R（v，1）n→RN为：φ（c）＝（，…易知φ是环同构映射。

下面一些定理的证明过程类似于文献［8］中相应定理的证明，在这里省略不证。

定理2 码C是R（v，1）上长为n的x－常循环码充要条件为φ（C）是R长为N的（1＋uβ）－常循环码。即I是R（v，1）［z］／〈zn－x〉的理想⇔φ（I）是R［x］／〈xN－（1＋uβ）〉的理想。

对∀b∈GR（R，r），则b＝ξ0＋uξ1＋…＋uk－1ξk－1，其中ξi∈Fqr。

定义GR（R，r）上的Frobenius环自同构σf为σf（b）＝＋＋…＋uk－1，且可扩展为R（v，ri）上的Frobenius环自同构。对任意c∈RN，则有＾ci∈R（v，ri）和＾cqi＝σf（＾ci），其中下标为模n后的值。

设~c＝ ｛（＾c0，＾c1，…，＾cn－1）∈R（v，r）n｜＾ci∈R（v，ri），＾cqi＝σf（＾ci）｝，则在向量分量加法与分量积运算下~c是环。并且（v，ri）。

定理3 设N＝psn，其中（n，p）＝1，则γ：RN→R（v，ri）：γ（c（x））＝（＾ci）i∈I，是环同构。特别地，如果C是R上长为N的（1＋uβ）－常循环码，则CCi，其中Ci是R（v，ri）中的理想｛c（vn′ξi）｜c（x）∈C｝。

推论2 环R上长为N的不同的（1＋uβ）－常循环码的个数为（psk＋1）t，其中t为模n的q－分圆陪集的个数。

引理3 设n′是满足nn′≡1（modps＋e）的正整数，其中e是使pe≥m成立的最小正整数；设fh是ξh在R［x］中的极小多项式，cq（h，n）是包含h的模n的q－分圆陪集；则有：

（1）如果i∉cq（h，n），则fh（vn′ξi）是R（v，ri）的单位。

（2）fh（vn′ξh）∈〈v－1〉，且fh（vn′ξh）∉〈（v－1）2〉。

证明 由定理3知CCi，其中Ci是R（v，ri）中的理 想 ｛c（vn′ξi）｜c（x）∈C｝。当 0≤ki≤psk时，对于满足Ci＝〈（v－1）ki〉的i，定义fi（x）为ξi的极小多项式。则其中fi（x）是［x］中两两互素的首一不可约多项式。由fi（x）的选取知，因此对于c（x）∈C，存在g（x）∈RN，使

2.2 （1＋uβ）－常循环对偶码

设β′＝1＋u（－β＋uβ2＋…＋（－1）k－1×uk－2βk－1），则β′为R中 可 逆 元 且 （1＋uβ）（1＋uβ′）＝1。因此（1＋uβ）－1＝（1＋uβ′）。设R′N＝R［x］／〈xN－ （1＋uβ′）〉，定 义 映 射η：RN→R′N为：f（x）→f＊（x），易知其为环同构。因此只要将前面的fi（x）替换成（x）即可得到R′N中相应的结论。

定理5 设C是RN的理想，则C＊＝｛f＊（x）｜∀f（x）∈C｝是R′N的理想。

证明 设λ＝1＋uβ，则λ－1＝1＋uβ′。

〉的理想。

定理6 设a（x）＝a0＋a1x＋…＋aN－1xN－1，b（x）＝b0＋b1x＋…＋bN－1xN－1∈RN，a＝（a0，a1，…，aN－1），b′＝（bN－1，bN－2，…，b0），则在RN中，a（x）b（x）＝0⇔a·（b′）＝0，其中1≤j≤N。

证明 考虑a（x）b（x）中xh的系数，则

故a（x）b（x）＝0⇔a·（b′）＝0，其中1≤j≤N。

定理7 设C是R上长为N的λ－常循环码，则C⊥＝A（C）＊是R′N的理想。

证明 由定理5和定理6知此定理成立。

定理9 设CCi是R上长为N的（1＋uβ）－常循环码，Di′＝C⊥i，其中i′为包含n－i的分圆陪集的代表元，Ci为R（v，ri）的理想，则C⊥＝Di⊆R′N。

3 结束语

本文主要得到了环Fpm＋uFpm＋…＋uk－1Fpm上任意长的（1＋uβ）－常循环码的结构，确定了此环上给定长的不同的（1＋uβ）－常循环码的个数及这样的码所含码字的个数，研究了环R上的（1＋uβ）－常循环对偶码的结构。

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A class of constacyclic codes over ring＋＋…＋

LI Yan， ZHU Shi－xin
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

In this paper，（1＋uβ）－constacyclic codes over the ringR＝Fpm＋uFpm＋…＋uk－1Fpmof an arbitrary length is studied.The number of distinct （1＋uβ）－constacyclic codes over the ringRof lengthN＝psnis determined，so is the number of codewords in each such code.The structure of（1＋uβ）－constacyclic dual codes over the ringRis also derived.

constacyclic code；Galois ring；dual code；discrete Fourier transform；annihilator

TN911.22

A

1003－5060（2012）03－0408－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.027

2011－06－07

国家自然科学基金资助项目（60973125）；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（20080359003）作者简介：李 岩（1985－），男，安徽蒙城人，合肥工业大学硕士生；

朱士信（1962－），男，安徽枞阳人，博士，合肥工业大学教授，博士生导师.

（责任编辑 马国锋）