基于测地距离的图像滤波方法

王爱齐

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)*

0 引言

由于受到设备和环境等噪声的干扰，图像在获取和传输的过程中，不可避免的会受到噪声的污染，从而影响图像的质量，给图像分割、目标识别和分类等后续处理带来困难.因此，尽可能的减弱噪声的干扰，使图像更有利于后续工作是图像处理的基本任务.

一般来说，图像去噪可分为两大类:线性方法和非线性方法.线性(卷积)滤波，如平均滤波［1］、高斯滤波［2］等，方法简单，速度快，但滤除噪声的同时，也会造成过光滑现象，使得图像的边缘模糊.因此，为了避免产生过光滑效果，研究者提出了许多非线性滤波方法，其中，双边滤波(Bilateral Filter，BF)是当前流行的一种边缘保持滤波方法.

双边滤波器最初由Aurich和Weule［3］提出，被称为“非线性高斯滤波器”.后来 Tomasi和Manduchi［4］重新讨论了该方法，并称之为双边滤波器.类似于高斯滤波器，双边率滤波器也定义为像素的局部邻域的加权平均，只是双边滤波器的权重不仅考虑了邻域像素间的几何距离，而且也结合了像素之间灰度(色彩)的相似性.在均匀的平滑区域，由于像素的灰度值变化较小，彼此接近，因此，权重主要由空间距离决定，这时，可以看作是空间域的高斯平滑;而在变化较大的非均匀区域，权重主要由像素间的相似程度决定，这样，在边缘处，同一侧的像素有更大的权重，而另一侧的像素的权重则较小.正是这种双重异性加权机制保证了双边滤波器具有良好的保持边缘的滤波效果，并被应用于图像处理的各个方面［5-7］.尽管双边滤波具有较好的保持边缘的滤波特性，但在纹理致密的强边缘附近，噪声残留较多，滤波效果不能令人满意.

本文从图像曲面的内蕴几何出发，提出了一种新的保持边缘的非线性滤波方法.其主要思想是对输入图像的每一个像素的输出结果是其邻域的加权平均，不同于双边滤波只考虑欧式距离，该方法是采用图像所构成的曲面空间的测地距离来衡量像素之间的相似性，能够更好的反映图像的结构特征，因此，在滤除噪声的同时，能够较好的保留图像的细节信息.

1 测地距离

设I(x):Ω→Rd是一幅图像(d=1为灰度图像，d=3为彩色图像)，Ω⊂R2是空间坐标域.两个像素位置x和y之间的测地距离Dx(y)定义为［9］其中，Px，y连接x和y两点的所有路径的集合，Γ是这样一条路径的弧长参数化表示，2I和Γ'(s)分别为图像梯度和路径关于弧长的导数.测地因子γ平衡图像梯度和空间距离的权重(在第4节的所有实验中，γ取值均为25).对于数字图像来说，Γ是连接x和y两点的8—连通的空间邻域的像素构成的离散序列 {p0=x，p1，…，pn－1，pn=y} ，因此

式中，‖·‖2为L2范数.

简单来说，x和y两点之间的测地距离就是曲面I上从x到y的最短距离.其直观解释为，若图像I上某两点的测地距离较小，则在这两点之间必然存在一条颜色变化较小的路径，小的测地距离表明这两点应该有更强的相似性.

2 基于测地距离的滤波方法

与双边滤波相似，基于测地距离的滤波方法在每一个像素的输出结果也是它邻域像素的加权平均，只是这里的权重是由测地距离构成的.

设I(x):Ω→Rd输入图像，对每个点x∈Ω，首先构造一个以x为中心的邻域窗口wx，然后，按照式(1)和(2)，计算x到窗口中其它位置的测地距离D(x，y)，最后，以其加权和为最终的滤波输出，即

综上所述，测地滤波算法总结如下:

设I(x)为输入图像.

(1)以每一点x为中心，取大小n×n(Nw=n×n)的窗口wx;

(2)对每一个窗口wx，由式(2)计算出中心点x到其它点的测地距离;

(3)由公式(3)计算最终的滤波输出结果.

3 测地滤波的快速算法

3.1 基于DTOCS的直接计算(算法1)

测地滤波算法的主要工作量在于计算中心点x到它到邻域窗口wx中每一点的测地距离，因此，如何能够快速计算测地距离是该算法的关键.关于测地距离计算的快速方法主要有两类:光栅扫描算法和波动传播方法.本文中采用文献［10］中提到的具有线性复杂度的快速光栅扫描算法—DTOCS(Distance Transform on Curved Space)，主要过程如下:

图1 DTOCS算法中使用的模板及扫描方式示意图

3.2 基于梅花形采样的快速计算(算法2)

由于测地距离具有对称性，在计算出点x到点y的测地距离的同时，也得到了点y到点x的测地距离，因此，可以利用对称性减少计算量，加快运行时间.但是，当利用对称性时，要用到较大的内存来记录所有计算过的测地距离.为了减小内存的消耗，本文采用如图2的梅花形下采样，来减小要处理的数据量.当计算出采样点到其邻域各点的测地距离时，由测地距离的对称性可知，非采样点到采样点的测地距离也同时得到.尽管，非采样点之间的测地距离并没有计算，但从实验结果可以看出，算法2与算法1的去噪效果十分接近，但运行时间却减少为原来的1/2.

图2 梅花形采样示意图

4 实验结果

去噪是图像处理中基础而重要的工作.在实验中，针对各种不同的图像和噪声水平，比较了本文提出的两种算法和双边滤波(BF)方法的去噪效果.为了客观比较去噪效果，采用峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR)作为评价标准.

式中，N为图像像素的总个数;u为原始的清晰图像;u*为滤波后的图像.

实验中，所加的噪声是均值为0，标准差分别为σ=10，15，20的加性高斯噪声.图3列举了实验中的一幅图像及两种方法的滤波结果，从中可以看出，两种方法在滤除噪声的同时，均很好的保持了图像边缘的细节信息，但与本文的算法相比，双边滤波的结果过于平滑，也滤除了弱的细节.由本文算法1和算法2的结果比较，可以看出，采用梅花形采样的算法2的去噪结果接近算法1，但运行时间却减小为原来的1/2.

图3 滤波方法性能比较

各种不同图像(噪声标准差σ=15)的具体滤波效果的PSNR值(dB)见附表.从附表中可以看出，本文提出的测地滤波方法的滤波结果要优于双边滤波方法的滤波结果.

5 结论

本文从图像曲面的内蕴几何出发，通过测地距离来衡量像素之间的相似性，提出了一种新颖的边缘保持滤波方法—基于测地距离的滤波方法，与流行的双边滤波方法比较，该方法具有更高的精度，更好的去噪效果.

附表 两种滤波方法对不同图像的滤波结果比较 dB

［1］胡浩，王明照.自适应模糊加权均值滤波器［J］.系统工程与电子技术，2002，24(2):15-17.

［2］靳明，宋建中.一种自适应的图像双边滤波方法［J］.光电工程，2004，31(7):65-68.

［3］AURICH V，WEULE J.Non-linear gaussian filters performing edge preserving diffusion［C］.In Proceedings of the DAGM Symposium，1995:538-595.

［4］TOMASIC，MANDUCHI R.Bilateral filtering for gray and color images［C］.Proceedings of the 6th International Conference on Computer Vision，1998:839-846.

［5］LIU C，FREEMAN W T，SZELISKI R，et al.Noise estimation from a single image［C］.IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition(CVPR)，2006:901-908.

［6］EISEMANN ELMAR，DURAND Frédo.Flash Photography Enhancement via Intrinsic Relighting［J］.ACM Trans.Graph.，2004，23(3):673-678.

［7］CHEN J，PARIS S F，DURAND.Real-time Edge-Aware Image Processing with the Bilateral Grid［C］.Proceedings of the ACM SIGGRAPH 2007，2007.

［8］LEONID I，RUDIN，STANLEY OSHER，et al.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］.Physica D，1992，60(1):259-268.

［9］AMTONIO CRIMINISI， TOBY SHARP， CARSTEN ROTHER，PATRICK P'erez.Geodesic Image and Video Editing［J］.ACM Transactions on Graphics(TOG)，2010，29(5):1-5.

［10］TOIVANEN P J.New geodesic distance transforms for gray-scale images［J］.Pattern Recognition Letters，1996 17(5):437-450.