四元数体上Cramer法则的两种证明

李树海

（兰州城市学院 数学学院，甘肃 兰州 730070）

四元数体上Cramer法则的两种证明

李树海

（兰州城市学院 数学学院，甘肃 兰州 730070）

将四元数体上n元线性方程组的求解问题转化为复数域上2n元线性方程组的求解问题。进而给出了四元数体上Cramer法则的两种较简单的证明。通过引入了一类特殊行列式的记号，由Cramer法则的两种证明过程得到了这类行列式的性质。

四元数体；友向量；Cramer法则

近年来，四元数得到了人们广泛地研究［1-5］。在文献［4］与［5］中，作者建立了重行列式的理论，但在实际四元数力学的应用中，上述理论过于复杂。因此文献［1］的作者通过引入友向量的概念，重新建立了一套四元数力学的简单数学代数方法。在文献［1］中，作者通过对四元数体上n阶矩阵的复表示矩阵的伴随矩阵的研究，证明了四元数体上的Cramer法则。本文首先证明了求解一个四元数体上n元线性方程组等价于求解复数域上一个2n元线性方程组。其次，本文直接利用复数域上线性方程组的Cramer法则及分块矩阵的知识，给出了四元数体上n元线性方程组的Cramer法则的两种较简单的证明。最后，通过引入了一类行列式的记号，由Cramer法则的两种证明过程，得到了四元数体上某些行列式的性质。

1 四元数复表示的性质

定义A的复表示［1］

证明由（*）易得。

命题2设，则f（β）=（b，bc），其中

证明

命题3［1］若x∈C2n×1，A∈Qm×n，则（f（A）x）c= f（A）xc．

命题4［1］设A∈Qn×n，β∈Qn×1，则x∈Qn×1是四元数体上n元线性方程组Ax=β的解当且仅当f（x）是复数域上矩阵方程f（A）f（x）=f（β）的解。

由命题2，可令f（x）-（X，Xc），f（β）=（b，bc）．

命题5f（x）是复数域上矩阵方程f（A）f（x）=f（β）的解当且仅当X是复数域上2n元线性方程组f（A）X=b的解。

证明由分块矩阵的乘法可知f（A）f（x）=f（A）（X，Xc）=（f（A）X，f（A）Xc）⇒）设f（x）是复数域上矩阵方程f（A）f（x）=f（β）的解，则f（A）X=b，且f（A）Xc=bc．故X是复数域上2n元线性方程组f（A）X=b的解。

⇐）设X是复数域上2n元线性方程组f（A）X= b的解，则f（A）X=b．在此式两边取友向量，由命题3［1］得f（A）Xc=bc．所以f（A）f（x）=f（A）（X，Xc）=（f（A）X，f（A）Xc）=（b，bc）=f（β），即f（x）是复数域上矩阵方程f（A）f（x）=f（β）的解。

推论6x∈Qn×1是四元数体上n元线性方程组Ax=β的解当且仅当X是复数域上2n元线性方程组f（A）X=b的解。

2 四元数体上Cramer法则的两种证明

命题7［1］设A∈Qm×n，则｜f（A）｜为非负实数。

证法1若A可逆，即f（A）在复数域上可逆，则复数域上矩阵方程f（A）f（x）=f（β）有唯一解。由命题4［3］，Ax=β在四元数体上有唯一解。

令f（x）=（X，Xc），f（β）=（b，bc），则f（A）X= b．由复数域上Cramer法则可得

由友向量的定义及命题7［1］得

故矩阵方程f（A）f（x）=f（β）的解为

令x=（x1，x2，…，xn）T∈Qn×1则由四元数的复表示可知

方法2若A可逆，即f（A）在复数域上可逆，则复数域上矩阵方程f（A）f（x）=f（β）有唯一解。由命题4［3］，ax=β在四元数体上有唯一解。

令f（x）=（X，Xc），f（β）=（b，bc），则f（A）X= b，且f（A）Xc=bc．由复数域上Cramer法则可得

由友向量的定义及命题7［1］得，

∈f（Qn×1）.令x=（x1，x2，…，xn）T∈Qn×1，则由四元数的复表示可知

由证法1中的（**）式及证法2中的（** *）式可得

即证法1成立；

即证法2成立。

3 复数域上行列式的性质

那么在（****）式中，

［1］姜同松．四元数的一种新的代数结构［J］.力学学报，2002，34（1）：116-121.

［2］张贤科，许甫华.高等代数学［M］.北京：清华大学出版社，1998.

［3］汪小琳.广义四元数代数的线性表示及其乘法的可易性［J］.西北师范大学学报，2008（4）：39-41.

［4］陈龙玄，四元数体上的逆矩阵和重行列式的性质［J］.中国科学（A辑），1991，34（5）：528-540.

［5］张庆成.四元数体上重行列式的性质及其应用［J］．数学学报，1995，38（2）：253-258．

［责任编辑 贺小林］

Identification of Cramer Ruler over Quaternion Field by Using Two Different M ethods

LIShu-hai
（College of Mathematics，Lanzhou City University，Lanzhou 730070，China）

It is discussed that the solution of linear equations in n variables over quaternion field can be simplified into the solution of linear equations in 2n variables over complex field.Therefore，Cramer ruler is to be proven respectively by two differentmethods.Thus the property of some determinants over complex field is obtained by introducing a sign from a class of determinants.

quaternion field；companion vector；Cramer ruler

O151.2

A

1004-602X（2012）04-0001-03

10.3969／J.ISSN.1004-602X.2012.04.001

2012 09 20

李树海（1962—），男，陕西榆林人，兰州城市学院讲师。