“数学应用”教学中若干问题探究

沙丹

[摘要]本文主要就大学本科应用类数学课程的教学提出了自己的一些想法。文章首先指出了应用数学和“数学应用”两者之间的区别，强调了大部分非数学专业的应用数学类课程要关注的是数学如何应用。其次，指出对于各类实际问题的判断是学习和掌握数学应用能力的关键，从而引出如何加强培养学生的判断能力的问题。最后，文章阐述了要达到该目的应该在教学中注意的几个关键点。

[关键词]应用数学教学 教学法 数学应用能力

本文受到上海市教委《运筹学》重点课程建设项目资助。

数学课程教学的两个核心问题

在整个大学本科教育中，数学的教育是不可或缺的。不论是数学专业还是非数学专业，数学的逻辑思维能力的训练对学生来讲都至关重要。但作为一名数学教师，经常会遇到有学生问这样的问题：老师，我们的数学学了有什么用？甚至毕业了的学生也会说:大学里学了那么多数学，根本不知道怎么用！面对这样的问题，如果单纯地以“培养数学的素养”来回答，多少显得有些苍白。尤其是对于像上海对外贸易学院这样的以应用型人才为培养目标的高校，如果所教授的内容，不能很好地与实际相结合，会使同学失去学习的兴趣和动力，导致“培养数学的素养”的目标也落空。因此，当遇到这样提问的学生越来越多时，作为一名数学教师，是需要认真地思考一下：在我们的教学过程中，是不是哪里出了问题？经过仔细的检讨，我认为问题的核心大致可以归结为两个方面：

1.在教学过程中混淆了应用数学和“数学应用”的界限。大学非数学专业（特别是商科专业）本科课程设置中所开设的数学课程，如统计学、运筹学、博弈论和模糊数学等，若从学科分类角度来说，都应该归为应用数学范畴。应用数学是利用数学来发展经验科学的学科。它始于经验性事实，止于对经验性事实进行规律性预测，这些规律性预测还必须被其他的实验数据所证实。应用数学的主体是建立科学概念、构造数学模型和公式，进而发展数学理论，并作科学上的预测。它强调的还是对数学方法和数学理论的拓展。而后者则是强调数学方法在实践中的应用，它强调的是对实际问题的判断，要求能在众多的数学方法中，正确选择合适的方法（或略微加以改造）来解决实际问题。下面的示意图可以用来描述两者的区别。

应用数学：实际问题→数学模型→数学理论和方法→预测和决策

数学应用：实际问题→判断→方法选择→解决问题

图1. 应用数学和数学应用的区别

作为数学教师，在课堂教学中，我们常常自觉或不自觉地沉醉于数学本身的完美体系之中，过分强调数学的严密逻辑，或注重数学方法细节的描述，强调对于数学方法的掌握而忽略了方法的应用。事实上，对于大多数学生来说（尤其是商科学生），更重要的是数学的应用。因为只有学以致用，才能提高学生对学科的兴趣。对于这个本质问题认识不清晰，是导致学生对数学学习产生困惑的原因之一。

2.在教学过程中模糊了对学生的培养要求。有的应用数学类课程教学大纲中，都会强调学生对于理论和方法的掌握。个别课程如有应用软件的，还会提供上机机会。但是，在具体实施教学时，往往会专注于要求学生掌握方法本身，而忽略对数学应用的基本素质培养。例如，面对实际应用问题，许多学生都不能把它用数学的语言描述出来，更谈不上如何选择合适的方法来解决问题了。

数学应用的基本素养

哪些是学生应当掌握的数学应用的基本素养呢？粗略可以归结为下列几点：

1.会用数学的语言将问题描述出来。是数学应用的最基本能力。如果不能将问题用数学语言表示出来，也就无法用数学的方法将它解决。此外，学会数学语言的运用，也是进一步培养数学思维的基础。注意，这里所说的仅仅是“描述”，它可以是不严密的，不连贯的，不完整的，有别于数学模型的严密和完整。

2.会对实际问题的类型作出判断。里所说的问题的类型，涉及到两个层次。第一个层次是对问题大类的判断，即问题属于确定性的、随机性的、模糊的，还是混合性的。学会这样的判断一般不难，这只要判断问题所包含的变量的类型就行了。第二个层次的判断就比较困难，它要求对问题所涉及的应用数学分支进行判断，进而决定采用什么数学方法。

3.会整理归纳已学的数学方法。这里要求学生将所学过的数学方法进行归纳整理，使之系统化。借用计算机科学的语言，就是要建立一个关于方法的数据库，将各种方法的特点，适用场合作为关键字储存起来，以便实际应用使快速检索。而这一种能力的提高，反过来也是对第二种能力的促进。

上述三种能力的培养，需要我们贯彻在每一门课程的教学之中。余下的问题就是，我们应当如何在课堂教学中来培养学生的这些能力呢？

如何在课堂教学中培养数学应用的素养

对于数学应用素养的培养，我想是否可以从以下几个方面来着手：

1.经常强调要求学生用数学的语言来描述问题。这是一项长期的工作，可以在每一门数学课中进行。开始时，可以反过来进行，即在介绍一种数学语言（包括数学符号）时，同时指出它在现实生活中代表或可以代表何种现象。等到学生熟悉了这种方式后，再启发学生自己来表述。

例如，在介绍图或网络时，先说明它可以表示一个城市的交通网络。其中，网络的边表示一段街道，边上所附的权表示该段街道的长度。求从某出发点到目的地的最短路就等价于在一个赋权的网络中寻找连接这两点的所有路中权和最小的那条。当同学熟悉了基本概念后，提出下列问题：某公司要制订一项5年内更新设备的计划。已知该设备在不同年份购置的价格及设备连续使用时每年的维护费用，并假设公司现有的设备已经连续使用了两年。应如何选择更新时机使总费用最低？启发学生把问题用网络的语言表示出来。又如在介绍了线性规划模型后，提示同学，规划中的变量可以是连续的，也可以是离散的。然后给出问题：已知某篮球队有8名球员，并且知道他们各自的身高和擅长的位置。现要参加一场篮球赛，需从8名队员中选择一个平均身高最高的出场阵容。启发同学用0-1变量来表示该名队员上场与否，进而表示成一个线性规划问题。

2.强调解题的规范。讲解例题及对学生解题都严格要求具备三要素，即判断、方法应用和结论解读。“判断”是指对问题类型的判断，其中蕴含着对适用方法的判断。要求学生具体写出显式的条件和隐式的条件。决不能因为觉得太简单而忽略这一步骤。“方法应用”则是选用适当的方法进行解题。“结论解读”是将数学计算的结果还原到实际背景中去的过程，即要求学生明白，数学上的解在实际中的意义。

在上述解题三要素中，判断是整个解题的基础，也是最重要的一环。相对来讲，第二步方法的应用倒是比较容易掌握的。第三步往往是学生会忽略的，但这却也是数学应用的重要步骤。往往会出现这样的情况，同样的计算结果，在现实生活中可以有不同的解释。在安排教学时间上，应该放比较多时间在问题的判断上，甚至可以集中将一些问题放在一起让同学判断而不必具体求解，以锻炼学生的判断能力。尤其是在阶段性复习时，更要训练判断，因为此时掌握的方法多了，必须先对问题作出准确判断，然后才能确定解决方法。

例如，在解答假设检验类的题目时，要求学生先把诸如样本容量、显著性水平、总体参数等已知条件写一遍。然后根据这些已知条件进行判断，是单总体还是双总体，是采用正态分布还是学生氏分布。判断正确了，问题就解决了一大半。最后，要将假设检验的结果用文字表示出来，如接受原假设时，可以说“在给定的显著性水平下样本数据不足以说明原假设不成立”；当拒绝原假设时，可以说“在给定的显著性水平下样本数据显示原假设不成立”。又如，给出某公司800笔应收账款按金额和账目到期时间分列的数据表格，问抽样结果是否显示应收账款金额与账目到期时间着两个因素相互之间有影响？让学生判断，是作独立性检验还是作方差分析。适当时候，让学生自己总结这两种方法的区别点。

3.及时帮助学生归纳整理已学过的知识。一个阶段教学后，将所学方法用表格结构、树形结构或钩连表结构进行归纳整理，帮助学生从形式到内容梳理知识，必要时还应将方法之间的逻辑关系标明。在教师作出示范后，就可以要求学生也照此来整理。这种方法不仅可以用来整理应用方法，还可以用来整理数学概念。

例如，在统计学中，讲授了区间估计后，可以要求学生将不同类型的区间估计计算公式列出来。一种可能的方式是：单总体均值或两个总体的均值，再分为正态总体或非正态总体，再分为大样本还是小样本，再分为总体方差已知或未知。在博弈论中，按静态还是动态来分，再按信息完全和不完全来分，再按信息完美还是不完美来分，每种类型的博弈归纳出几种典型的模型。在运筹学中，讲授了网络规划后，让学生按边上的赋权情况来分类。如一个权的，属于什么类型的问题，或可以提出哪些类型的问题；两个权的，又可以提出哪些问题，各自又有哪些方法来解决。

有时，通过归纳总结，还可以引导同学自己提出新问题。例如，在最小费用流问题中，是满足容量约束，达到费用最小。可不可以让费用满足约束，使容量达到最小？

4.引导学生自己发现新问题的关键点。在每次引入或介绍新方法时，不要开门见山，直接说出解决的方法。可以要让学生和你一起来思考，以问题来驱动新知识点的引入。教师备课时材料要充分，启发学生用类比、归纳等方法，找出可能解决问题的几种途径。当新方法介绍后，再要求学生进行对比，找出差距。这样，把新知识的引入，处理成学生判断、发现和解决问题的过程，把被动接受变为主动发现，同时也提供了一次学生在教师帮助下进行数学应用的实践过程。

例如，在统计学课程中讲授了拟合优度检验后，指出卡方检验实际上就是考察两个分布在某些离散点上密度函数值的加权离差平方和。当这个值很大时显然这两个分布的密度函数曲线拟合很差。接着，在介绍独立性检验时，先指出，我们希望能用类似拟合优度检验的方法来解决。同时提醒同学注意，独立性检验所给出的数据表，实际上是一个两维的频数分布表，它只代表了一个分布函数的信息。而拟合优度检验需要比较两个分布函数。那么，另一个分布函数（即理论分布函数）在哪里？

我们看下面的例子：在对某城市家庭的社会经济特征调查中，调查者同时想确定家庭的电话拥有量与汽车拥有量是否独立。该公司对10000户家庭组成的简单随机样本进行调查，获得资料如下表。设显著性水平为0.01。

显然，数据只给出一个样本的分布情况。那么，理论分布又在哪里呢？

在课堂教学中，面对这样的提问，同学大都会感到很困惑。而这时，可以强调我们原假设是“电话拥有量与汽车拥有量是相互独立的”，并进而给出提示：假如原假设成立，那么，数据会出现哪些现象？让学生自己发现这样的结论，即“电话的拥有量为0，1或2的家庭，其汽车的拥有量分布应该彼此相似”，从而得出理论分布的计算方法。这样，独立性检验的问题，就转化为一个拟合优度检验的问题，即把一个新问题通过合适的转换变为一个已经掌握了的“旧”问题。同样的方式也可以用于博弈论中关于“海萨尼转换”的教学。

结论

如前所述，大学应用数学课程的教学，不光是需要讲授数学方法，更应多一点对于应用能力的培养。而这当中，尤以对问题的判断更显重要。本文虽然提出了一些应予关注的方面，但还需留待实践来证明。

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作者单位:上海对外贸易学院商务信息学院上海