高中体校数学教学渗透函数思想的研究

汤晓虹

【摘要】数列是高中数学的重要内容之一，对学生进一步学习高等数学有着极其重要的作用，如何将函数思想渗透到数列教学中，提高学生对数学学习的兴趣，增加体校生的有效学习是我们作为体校教师的目标.

【关键词】函数思想;数列知识;数学思想方法オ

体校学生有其自身的特点：活泼、好动、头脑灵活，他们在学习上没有考试压力，没有升学压力，学习全靠自己的兴趣和来自教练的压力，所以对他们感兴趣的课程，他们听得津津有味，反之就是我行我素，课堂一片混乱.当然还有就是大部分学生的数学基础薄弱，根本不能和普通中学的学生相比，即使有少数学生在初中和小学时数学学得还不错，但是进入体校以后，没有压力，没有氛围，成绩也下降很多.平时我也和学生交流的很多，他们对数学课向来比较排斥，一方面觉得枯燥，另一方面总觉得数学和他们的生活没什么太大的联系，觉得没有像语文、英语那样实用，所以学习起来没有动力.这就要求我们教师在课堂中尽可能多的用一些简便的方法，让学生觉得数学没有那么难学，是可以掌握一点的.拿数列举例是因为数列的题目其实在我们日常生活中经常碰到，一些报纸、书刊将其作为趣味题来做，我们学生也会买些报纸来找规律填数字，但是要在其内容上深入和扩展，就需要后续的练习和总结了.函数是学生从初中就开始接触的重要的数学知识，很多学生学的相对其他知识要好得多，以函数知识为铺垫来讲授数列知识有一定的可行性.因为数列就是按照一定的次序排列的一列数，从函数的观点看，数列是定义在N*或者其有限子集{1,2，…，n}上的函数f(n)，当自变量从1开始依次取整数时，f(n)所对应的一列函数值：f(1),f(2),f(3),…,f(n)，引导学生得到：(1,a1),(2,a2),…,(n,f(n))，就是一次函数f(n)=a璶=d璶+(a1-d)图像上的散开的点，进一步启发学生本题实际上涉及三个点：A(10,a10),B(100,a100)，C(110,a110).

所以由已知A(10,a10),B(100,a100),C(110,a110)在同一直线上，由图像及相似性质可以得到：100-10[]110-10=100-10[]100-a110.解得a110=0.

同学觉得相当巧妙，也深深地感受到了函数知识在数列知识中的应用.总结相关例题：

一、等差数列与一次函数、二次函数的关系

数列{a璶}为等差数列讵a璶=An+B(A≠0),

S璶=An2+Bn或S璶[]n=An+B(A≠0).

图像为排在同一直线上的一系列孤立点，点(n,S璶)分布在二次函数y=〢x2+狟x的图像上，所以数列的一些最值问题可以转换成二次函数最值问题来解.

例1 设数列{a璶}的前n项和为S璶=An+Bn(n-1),﹏∈狽*，A,B为常数，且A≠B.

（1）证明：数列{a璶}为等差数列;

（2）证明：以a璶,S璶[]n-1为坐标的点P璶(n∈N*)在同一直线上，并求出直线方程.

证明 （1）因为S璶=An+B(n-1),n∈N*，ニ以a璶=A(n=1)，

S璶-S﹏-1(n≥2,n∈N*)，

即

a璶=A(n=1)，

2Bn+A-2B(n≥2,n∈N*)，

当n=1,a1=A,也满足a璶=2Bn+A-2B，

所以{a璶}是等差数列.

（2）因为S璶[]n-1-S1[]1-1[]a璶-a1=An+Bn(n-1)[]n-A[]2B(n-1)=1[]2,ニ以a璶，S璶[]n-1在以1[]2为斜率的直线上，该直线方程为y-(A-1)=1[]2(x-A),即y=1[]2x+1[]2A-1.

例2 设{a璶}是等差数列，a1=25,S17=S9，问：数列前多少项和最大？求此最大值.

解 由a1=25，S17=S9,有d=-2，S璶=-(n-13)2+169,所以当n=13时，有最大值169.用的是二次函数求最值的方法——配方法.

二、等比数列与指数函数的关系

等比数列{a璶}中，通项公式a璶=a1q﹏-1就是关于n的指数函数.求和公式S璶=a1(1-q琻)[]1-q=-a1[]1-qq琻+a1[]1-q=Aq琻+B(q≠1,Aq≠0,A+B=0),点(n,S璶)分布在函数y=Aq琻+B的图像上.

例3 数列{a璶}为等比数列，且其前n项和S璶=5﹏-1+t，求t的值.

解 由以上性质知，等比数列中S璶=1[]5•5琻+t，所以﹖=-1[]5.

三、函数具有单调性，数列是特殊的函数，也可以利用单调性来解题，但要注意其定义域

例4 设数列{a璶}的通项公式为a璶=n2+2-n，证明数列为单调递减数列.

证明 令f(x)=x2+2-x=2[]x2+2+x，当x>0,ゝ(x)为单调递减函数，所以{a璶}为单调递减数列（n>0）.

例5 设{a璶}是等差数列，a1=25,S17=S9，问：数列前多少项和最大？是否能用单调性来解题，大家考虑一下.

解 因为{a璶}是等差数列，a1=25,S17=S9，所以{a璶}为单调递减数列，且a10+a11+a12+…+a17=0，由等差数列性质

有a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，则a13+゛14=0，又因为是单调递减数列，所以a13>0，a14<0,即S13最大.

注 利用等差数列性质进行转化，当a1>0，且为单调递减数列时，前n项和S璶有最大值，如果从第n项开始变号，则在n-1处取得最大值.

四、函数中图形是它的一个很重要的特征，利用函数的图像来解题可以起到事半功倍的作用，所以数列既然是特殊的函数，它也可以充分利用图形来解决一些问题

例6 设{a璶}是等差数列，a1=25,S17=S9，问：数列前多少项和最大？以上我们已经用了性质——单调性来解，是否能试着用图像来解？

解 因为S璶=d[]2n2-a1-d[]2n,又a1=25,S9=S17,ニ以d<0，从函数的观点来看S璶是关于n的抛物线上的孤立的点，且开口向下.

又因为S17=S9，

所以对称轴为n=9+17[]2=13，即S13最大.

五、函数有周期性，数列是特殊的函数，自然也会有周期性，利用函数的周期性解数列中某些特定的项或者求和

例7 设数列{a璶}中，a1=15,a2=67，对所有自然数n有a﹏+1=a璶+a﹏+2，求a2011.

解 因为a﹏+1=a璶+a﹏+2，

所以a﹏+2=a﹏+1+a﹏+3，两式相加，a﹏+3=-a璶，

所以a﹏+6=-a﹏+3=a璶，则该数列是以6为周期的数列.

由a1=15,a2=67，得a3=52,a4=-15,a5=-67,a6=-52,

a2011=a6×334+1=a1=15.

思考 等差数列{a璶}中，a1=12,d=-2,（1）求S璶，并画出S璶(1≤n≤13)的图像；（2）分别求S璶单调递增、单调递减时n的取值范围，并求{S璶}最大（小）的项；（3）{S璶}有多少项大于0.

分析 本题分三个小题，第（1）题要求画图像，然后第（2）题再求单调范围，学生就很容易联想到函数的单调性，这种题目表面上朴实，但内涵丰富，学生理解起来轻松自如，思维也是贯穿的、一气呵成的.思考完成后让学生更好地理解等差数列前n项和是一个关于n的二次函数，相关的问题可以用函数知识去解决.相类似的问题在教学过程中比比皆是，要好好地利用它，不能轻描淡写的过去，要好好培养学生脚踏实地的求学精神.在用二次函数求解范围后，从通项公式a璶入手，考虑a璶≥0,a﹏+1≤0，就可以求出哪项开始负，进而求解.

数学思想方法不仅在数列教学中有所应用，在高中的其他知识中也有重要的作用，教师在平时的教学中，要循序渐进，把数学思想渗透到学生的认知结构中去，这对培养学生的数学素养和综合能力是大有益处的.

【参考文献】オ

［1］沈丰.巧用函数思想妙解数列试题［J］.新课程学习(社会综合),2009(08).

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