数学软件在高等数学教学中的辅助运用

李红艳 万钟林

【摘要】借助MATLAB的强大功能，实现Fourier级数逼近函数的模拟.通过列举的典型实例，运用MATLAB生成拟合图形，结合理论知识，进一步阐释数学软件在高数教学中的重要地位.

【关键词】函数逼近；MATLAB；Fourier级数

【中图分类号】玂173.1オ

周期为2π的函数的獸ourier级数展开 设函数f(x)的周期为2π，在［-π,π］上可积，则它的獸ourier级数展开式为f(x)~a0[]2+А啤轠]n=1(a璶玞os玭x+b璶玸in玭x)（1）.其中a璶=1[]πА要π-πf(x)玞os玭x玠玿, n=0,1,2,…

b璶=1[]πА要π-πf(x)玸in玭x玠玿, n=1,2,…

狄利克雷定理（收敛定理） 设f(x)是以2π为周期的函数，如果它在［-π,π］上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点,则獸ourier级数（1）收敛，且

（1）当x是f的连续点时，级数收敛于f；

（2）当x是f的间断点时，级数收敛于1[]2(f(x-0)+f(x+0)).

用有限的不同的n项傅立叶级数表示有间断点的函数时，在间断点附近会不可避免地出现獹ibbs现象.在某些间断点或者端点，獸ourier级数收敛到该点左右极限和的一半.

对于上述收敛定理的理论描述，学生理解起来费时费力.为了让学生对獸ourier级数展开式有一个直观的理解，下面运用数学软件MATLAB强大的计算和绘图功能，模拟Fourier级数逼近函数.首先建立MATLAB函数文件ゝ_series.m，方便做函数逼近时调用.

例1函数y=x,-π

0,0≤x<π的獸ourier级数展开式及逼近模拟.

獸ourier级数展开式-π玔]4+2[]πА啤轠]n=11[](2n-1)2玞os(2n-1)x+А啤轠]n=1(-1)﹏+1猍]n玸in玭x.

玀ATLAB程序编码

syms x;f=(x-abs(x))/2;xx=-pi:.01:pi;

yy=subs(f,x,xx);plot(xx,yy,‘-),hold on

for n=4∶4∶20

［a,b,f1］=f_series(f,x,n);

y1=subs(f1,x,xx);

plot(xx,y1,‘-.);

if n==8

f1

end

end

输出（1）式中玭=8的Fourier级数展开为

-1/4*pi+2/pi*cos(x)+sin(x)-1/2*sin(2*x)+2/9/pi*cos(3*x)+1/3*sin(3*x)-1/4*sin(4*x)+2/25/pi*cos(5*x)+1/5*sin(5*x)-1/6*sin(6*x)+2/49/pi*cos(7*x)+1/7*sin(7*x)-1/8*sin(8*x)

输出图形为

由生成的图形可以看出，随着n值的增大，獸ourier级数在各连续点越逼近函数值，并且在端点x=-π,x=π处獸ourier级数收敛到两端点（左、右）极限和的一半-π玔]2.这就是狄利克雷收敛定理的一个直观解释.这样学生学习獸ourier展开式不再感觉枯燥和抽象，降低了理论上的难度，同时缩短数学理论与数学应用之间的距离，培养学生的数学实践与创新能力.

例2 方波函数y=1, x≥0,

-1,x<0

在［-π,π］上的獸ourier级数展开式及其逼近模拟.

獸ourier级数展开式4[]πА啤轠]n=1И玸in(2n-1)x[]2n-1.

玀ATLAB程序编码

syms x;f=abs(x)/x;;xx=-pi:pi/200:pi;

xx=xx(xx~=0);xx=sort(［xx,-eps,eps］);

yy=subs(f,x,xx);plot(xx,yy,‘-),hold on

for n=2∶6∶20

［a,b,f1］=f_series(f,x,n);

y1=subs(f1,x,xx);

plot(xx,y1,‘-);

if n==8

f1

end

end

输出图形为

输出（1）式中n=8的獸ourier级数展开为

4/pi*sin(x)+4/3/pi*sin(3*x)+4/5/pi*sin(5*x)+4/7/pi*sin(7*x)

由生成的图形可以看出，随着n值的增大，獸ourier级数在各连续点越逼近函数值，并且在端点x=-π,x=π处獸ourier级数收敛到两端点（左、右）极限和的一半0.不过在n=14时图形就可以得出较好的拟合，再增加n值也不会有太大的改善.这是獸ourier级数逼近函数所存在的一个缺陷.

例3 函数y=|x|在［-π,π］上的獸ourier级数展开式及其逼近模拟.

獸ourier级数展开式π玔]2-4[]πА啤轠]n=11[](2n-1)2玞os(2n-1)x.

玀ATLAB程序编码

syms x;f=abs(x);;xx=-pi:pi/200:pi;

yy=subs(f,x,xx);plot(xx,yy,‘-),hold on

for n=2∶6∶20

［a,b,f1］=f_series(f,x,n);

y1=subs(f1,x,xx);

plot(xx,y1,‘--);

if n==8

f1

end

End

输出图形为

输出（1）式中n=8的獸ourier级数展开为

1/2*pi-4/pi*cos(x)-4/9/pi*cos(3*x)-4/25/pi*cos(5*x)-4/49/pi*cos(7*x)

这一函数在［-π,π］都是连续的，因此在各点獸ourier级数都能逼近函数值.由图看，随着n增大，拟合图形几乎和原图重合.

上述通过几个典型实例探讨獸ourier级数逼近函数的MATLAB模拟，旨在借助数学软件MATLAB辅助教学，给出Fourier级数展开式的直观解释，让学生对Fourier级数不再是望而生畏，而是对该内容产生浓厚的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，从而提高教学效果，进而培养学生的数学应用与创新能力.