用“猜想—论证”法教学圆锥体积的计算

潘冬梅

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）11-0083-01

牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明。”数学方法理论的倡导者G.波利亚曾说过：“数学猜想能缩短解决问题的时间，能获得数学发现的机会，能锻炼数学思维。”猜想是人们在揭示问题实质，探索客观规律时凭借自己的想象，进行估计、推测的一种思维方式，是建立在已有事实或知识经验基础上进行的一种合情的推理，是一种直觉思维，也是一种创造性思维。所以在教学中运用“猜想—论证”是引导学生“发现学习”的一种有效手段，能提升学生的学习水平，促进学生探究性思维的发展。下面是我运用“猜想—论证”法教学圆锥体积计算的实践尝试。

1.提出问题 鼓励猜想

因为学生已认识了圆柱和圆锥，并学会了计算圆柱的体积，所以教师直接出示一组圆柱和圆锥模型，通过现场测量知道它们的底面直径都是厘米，高都是15厘米，于是归纳出它们之间的关系是“等底等高”关系。接着由学生算出圆柱体积是3.14×（10÷2）2×15=1177.5（立方厘米）≈1200（立方厘米）。那么圆锥的体积又是多少呢？教师提出挑战性问题，鼓励学生大胆猜想。同学们情绪高涨，都争先恐后地发表自己的意见。

生1：我认为圆锥体积肯定小于1200立方厘米。因为它们的底面积相等，高又相等。现在圆锥上端被削成了尖的，减少了很多体积，所以圆锥体积肯定小于等底等高的圆柱体积。估计一下：大概削去了原来体积的一半，我猜是600立方厘米左右。

生2：我同意上面的观点，但我估计削去的比一半少，圆锥体积可能有700立方厘米。

生3：我认为削去的比一半多，圆锥体积大约是500方厘米左右。

生4：我认为圆锥体积只有400立方厘米左右。

……

学生七嘴八舌，各抒己见。教师做了统计，全班52人中，认为圆锥体积大于等底等高圆柱体积一半的仅2人，约等于一半的有3人，小于一半的有47人，其中猜想圆锥体积约400立方厘米的有30人。他们中有的已在课前预习课本，有的是在猜想时“偷”看书。这是件大好事，因为课堂教学环境紧逼学生产生了强烈的学习愿望，主动求知已成为学生的内需，他们迫切需要得到正确的结论。

2.实验验证 挑战论证

教师分别揭去两个模型的各一个底盖，使两个模型成为一组量筒，然后提供水一盆，由两名学生进行实验。证实课本上得结论是正确的：等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，或者说圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的1/3。

当一场风波平息，学生的学习愿望刚得到满足时，教师却又提出了新的挑战性问题：出示一组铁制的圆柱和圆锥模型，并现场量得它们的底面直径均为4厘米，高为6厘米。它们的体积是否还是1/3关系，又該如何验证呢？

生5：我认为仍是1/3关系，可以通过“称”的方法来证明，因为同种原材料做成的两个物体，如果它们的体积是1/3关系，重量一定是3倍关系。于是教师提供案秤一台，由他来协助完成实验任务。先称得圆柱约重588克，然后教师鼓励学生先猜一猜“圆锥重量约是多少克？”当学生猜出是196克并说明理由后，再称出重量验证猜想正确，从而再次证明等底等高的圆柱和圆锥体积确实是3倍关系。

生6：我认为还可以通过“量”的方法进行验证。取来一杯水，水的深度以能浸没铁制模型为宜，然后先后把圆锥和圆柱放入水中，分别观察水平面上升的位置，再计算两次水平刻度的差证明它们之间是否为1/3关系。于是，教师又提供玻璃量杯一只，请他来协助完成此项实验任务。先住水深10厘米，放入圆锥模型，水平面上升到约13厘米。教师又再次鼓励学生猜想，如果取出圆锥，放进圆柱，水平面上升的刻度应该是多少呢？

……

运用“猜想—论证”可以训练学生的瞬时思维，培养学生以敏锐的观察、快速的判断来面对问题，从而找到解决问题的捷径。通过猜想，可诱发学生跳跃思维，加快知识形成的过程，还可以营造一种轻松愉快的学习氛围，激起学生饱满的学习热情，也让学生饱尝了成功的喜悦。