挖掘学习深度促进思维跃迁——拓展课《平行四边形的等积变形》教学设计

文 何佳丹

【教学内容】

人教版五年级上册第86 页。

【教前思考】

下图为人教版教材平行四边形面积新授课后的一道习题。两个平行四边形同底，根据平行线间的距离处处相等，它们的高也相等，所以面积相同。这个问题通过观察，不难解决，但其实像这样等底等高面积相等的平行四边形还有很多，明白等积变形背后的道理，这个性质还可以推广到后续三角形、梯形甚至更多的平面图形面积中，实现从题教到类教。 因此从此题入手，整体考虑不同学生的认知基础，深度整合相关习题，尝试改一题为一课，从典型的长方形入手，逐渐将学生头脑中关于平面图形的认知有序联系，引导学生操作实证，多向思考，把握平行四边形等积变形本质。

【教学目标】

1.经历深度操作，画面积相同的平行四边形的过程，在独立思考中培养分析推理能力，在动手操作中感悟等积变形思想，发展空间想象力。

2.推理验证等底等高的平行四边形面积相等，以及利用积的变化规律解决平行四边形面积的相关问题。

3.用数学学习活动，感悟数学知识前后联系，进一步渗透“转化思想”，发展迁移应变能力。

【教学准备】

教师准备：课件、几何画板动态演示图。

学习材料：格子图、彩笔、剪刀、三角尺。

【教学过程】

一、直观操作，探索新知

师：前面我们学习了平行四边形的面积，今天我们继续研究平行四边形面积里的奥秘。

1.自由画: 激活已有经验。

活动一：“画”面积相等的平行四边形，激活知识经验。

要求：自己想办法，画出和长方形面积相等的平行四边形，看看你能画几个。（学生画三分钟）

2.交流反馈：展示经验思考。

师：你们画的平行四边形和长方形面积相等吗？

生：长方形是特殊的平行四边形，还可以画面积也是12 的其他长方形。

生：长方形的面积是：2×6=12，就去想想（ ）×（ ）=12。

生：画和长方形等底等高形状不一样的平行四边形，底边都是2，高都是6，2×6=12，所以面积相等。

生：平行四边形和长方形底和高都相等，根据面积公式，可以确定乘积也相等，所以面积相等。

师：大家想到的办法可真多，通过具体数据的计算，根据面积公式底乘高，验证了等底等高的平行四边形面积相等。

二、推理分析，实证明理

师：大家想到的办法可真多，通过具体数据的计算，根据面积公式底乘高，验证了等底等高的平行四边形面积相等。

1.验证发现：等底等高，面积相等的平行四边形有无数个。

（1）图形实证：等底等高，面积相等。

活动二：剪拼证明：为什么等底等高的平行四边形面积相等？

师：这两个图形形状很不一样，还有办法可以验证它们的面积相等吗？拿出信封里的材料，自己动手试试看。

操作：学生尝试对右边的平行四边形画、剪、拼。

图10 图形实证面积相等的示意图

生：我剪成了两块，①号与其中部分重合，剩下的②号和长方形剩下的一样大。

生：你的看不出来面积相等。我再剪一次，分成三部分重新拼，刚好和长方形完全重合。

生：我剪成4 个完全相同的三角形，重新拼后和长方形完全重合，说明面积相等。

师：原来将平行四边形多次割补转化成左边的长方形，就能一眼看出等底等高的平行四边形面积相等。

师：现在把将这个图形平移过去，你还有新的发现吗？

生：除了公用部分，剩下两块图形的面积也相等。

（2）再次画图：发现等底等高的平行四边形有无数个。

活动三：快速画：筛选最佳策略。

要求：来个小小的比赛（2 分钟计时）。看谁的速度最快，画出尽可能多的和长方形面积相等的平行四边形。

师：用手势告诉我你们画了几个？

师：你们现在怎么一下子画出了那么多个？

生：共用已有平行四边形的一条底边，可以节约画一条边的时间。根据平行线之间的距离处处相等，高也就相等了。将上面的底边不断向右移动就可以了。

生：上面的边也可以往左边方向平移。

师：如果格子图足够大，时间也足够多，你能画多少呢？

生：无数个。

小结：等底等高的平行四边形不仅面积相等，且有无数个。

2.双向辨析：深刻把握等积变形本质。

（1）逆向反思：面积相等的平行四边形，一定是等底等高吗？

生：不一定，比如底3 高4 的平行四边形。

小结：面积相等的平行四边形，不一定等底等高，也有不等底不等高的情况。

（2）再次思考：不等底、不等高的平行四边形一定面积相等吗？如何保证？

生：只要底和高的乘积都是12 就可以。

生：平行四边形面积=底×高，底和高就是两个因数，利用积不变规律，一个因数乘几另一个因数就除以几（0 除外），也可以保证。

师：真棒，利用积不变规律，就能保证面积相等。

小结：不等底不等高的平行四边形，底和高乘积相等时，面积相等。

（3）想象整理，在平行四边形等积变形中渗透极限思想。

师：现在我们找到了5 个不等底、不等高但面积相等的平行四边形。还有吗？

生：2.4×5、24×0.5。

师：如果底是0.6，高就是？底是0.06，高是？底是0.006，高是？

小结：不等底、不等高但面积相等的平行四边形有无数类。

师：如果用一生的时间去画面积是12 的平行四边形，你画的完吗？

生：画不完。

小结：等底等高，面积相等的这一类平行四边形有无数个。不等底、不等高面积相等的平行四边形有无数类。

三、变式练习，拓展应用

练习一：正方形的周长是32cm，你能求出平行四边形的面积吗？

生：平行四边形的底和高就是正方形的边长。

师：关于这个问题有不同的想法吗？

生：这两个图形等底等高，面积相等，求平行四边形的面积就是求正方形的面积。

练习二：如图，长方形框架面积是400cm2，把它拉成一个平行四边形，长方形的高度是平行四边形的2 倍。拉动后的平行四边形的面积是多少？

生：先算出平行四边形的高，再求面积（400÷25）÷2×25=200（cm2）。

生：等底，高是2 倍，对应面积也是平行四边形面积的2 倍：400÷2=200（cm2）。

师：如果继续拉动，长方形的高度是平行四边形的4 倍，对应平行四边形的面积是多少？

生：长方形面积是平行四边形面积的4 倍。

师：n 倍呢？

生：长方形面积是平行四边形面积的n 倍。

小结：等底，高的倍数关系和面积的倍数关系一样。 高是现在的几倍，面积也是现在的几倍。

对比反思：对比一下，这个问题，和刚才研究的内容，一样吗？

生：之前研究的是等底等高，面积相等，等积变形。现在这个问题是等底，高不同，面积也不同，相同的是周长，等周长变形。

师：是的，解决问题之前，我们要先观察，思考判断属于哪种情况。

四、回顾反思，提炼经验

师：这节课你有哪些收获？

生：我掌握了等积变形的方法：可以利用等底等高画出无数个面积相等的平行四边形。

师：这是个不错的方法。

生：也可以根据积不变规律。我还知道有的信息正向思考结论是对的，反过来就不一定了。

师：已知信息推理出的结论，有时候并不能作为条件反推。学习完还有新的问题吗？

生：其他图形中也有可以用这些方法进行等积变形的吗？

师：你提出了一个很好的问题，等我们学习了更多的平面图形的面积后可以继续探究。