盘点初中数学中的最值问题

刘明海

初中数学中有很多最值问题的研究，无论是代数方面还是几何方面，经常涉及到求最大小值的问题。最值问题和我们的实际生活联系非常紧密，比如怎样最省、最快、最节约材料等。下面，我就初中数学中的最值问题举例说明。

一、两点的所有连线中，线段最短，即两点之间线段最短

由这个结论我们还可以得到三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边。利用它求最值问题往往和对称、平移联系在一起。

例1如图1，在燃气管道L旁有两个镇A和B，要在管道上修一个泵站往两个镇供气，问泵站修在哪里可使所用的输气管线最短？

解：如图2，作A关于直线L的对称点A′，连接BA′与直线L交于点C，点C为所求泵站位置。

例2如图3，一长方体盒子，长宽高分别为a、b、c，一只蚂蚁在顶点A处，要爬到顶点G处，它爬行的最短距离为多少？

解：如图4，把长方体展开，后面的面和底下的面不画。蚂蚁爬行的最短距离为线段AG的长，利用勾股定理可求得解。

注：对于求其他可以展开的立体图形（如棱柱、圆柱、圆锥）上的最短距离，方法和这个基本相同。

二、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段

最短

例3如图5，小明和妈妈在矩形花园里玩，小明沿着BCDB的路线跑，妈妈站在A处，矩形花园的长宽分别为40米和30米。问小明离妈妈的最短距离是多少？

解：过A作BD的垂线段AE，即为最短距离。

∴小明离妈妈的最短距离是24米。

三、二次三项式求最值

二次三项式求最值的方法就是把二次三项式配方，化成一个完全平方式与一个常数和的形式，利用完全平方的非负性来求最值。如：2x2+4x-3=2(x2+2x-)=2(x+1)2-5≥0-5=-5，所以该二次三项式有最小值-5。而-2x2+4x-3=-2(x+1)2-1≤0-1=-1，所以该二次三项式有最大值-1。

四、利用根的判别式求最值

例4如图6，⊙O的直径AB=2，AD、CD、BC是⊙O的切线，若AD=x,BC=y，求四边形ABCD的最小面积。

解：设四边形ABCD的面积为S，如图6，过D作DE⊥BC于点E。由切线和切线长定理可知：四边形ABCD是矩形，EC=y-x，CD=x+y，而DE=2，

∴22+(y-x)2=(x+y)2，

化简得y=。

∴SABCD(AB+BC)×AB

这个方程有实数解，所以△=b2－4ac≥0，

即S2－4≥0，S2≥4，∴S≥2。

∴四边形ABCD的最小面积为2。

五、利用函数求最值

利用函数求最值时，一般是先根据题意建立一个函数模型，再确定出自变量的取值范围，根据函数的增减性来求最值。

1. 用反比例函数求最值

例5一个工人一天能编3至5个箩筐，某工厂每天要生产这种箩筐150个，问该工厂应该聘请多少名工人？

解：设应聘请y名工人，每名工人每天生产x个箩筐，则当x=3时，y=50；当x=5时，y=30。

所以，至少聘请30人，最多聘请50人。

2. 用一次函数求最值

例62008年地震后，甲地需饮用水240吨，乙地需饮用水260吨，现在A厂有瓶装饮用水200吨，B厂有瓶装饮用水300吨，要把这些饮用水全部赠送给甲乙两地。从A厂往甲、乙两地运饮用水的费用分别为每吨20元和25元；从B厂往甲、乙两地运饮用水的运费分别为每吨15元和24元，怎样调送可使总运费最少？

解：设总运费为y元，A厂运往甲地的水为x吨，则运往乙地的水为（200-x）吨；B厂运往甲乙两地的水分别为（240-x）吨和[300-（240-x）]=（60+x）吨，则y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x），即：y=4x+10 040。

这里A厂运往乙地的水200-x≥0，x≤200 即0≤x≤200。

函数y=4x+10 040的值随自变量的增大而增大，当x=0时，y有最小值10 040。所以，从A厂运往甲地0吨，运往乙地200吨；从B厂运往甲地240吨，运往乙地60吨时总运费最少，总运费最小值是10 040元．

（西藏拉萨市第八中学）