组合数学的课程教学探讨

摘要：对在组合数学教学中遇到的问题进行探讨并总结了一些体会，以便提高学生分析和解决组合问题的能力.

关键词：组合数学；组合恒等式；数学思维

中图分类号：O157.5；G424.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0139-02

组合数学是研究离散对象的一门数学学科。组合数学不仅在基础数学研究中具有重要地位，在其他学科诸如计算机科学、编码和密码学、物理、化学和生物等都有着重要的应用。组合数学作为高校数学专业高年级学生的一门选修课程，对培养学生的数学素养有着其他数学课程无法起到的作用。组合数学有别于一些数学基础课程，它与实际问题联系密切，强调数学应用能力的培养，它解决问题的方法灵活多变，没有固定模式，往往一个问题一种解法。这常常让学生觉得组合数学高深莫测，无所适从。这些特点促使教师在教学中要尽量避免“填鸭式”的讲授，而应在讲授知识的过程中激发学生的学习兴趣并注重培养学生的创造性思维能力。笔者结合多年的组合数学教学经验，认为应注意以下几个方面。

一、注重基本概念教学

概念是浓缩的知识点，是思维的细胞。教师在组合数学概念教学中重视培养学生分清实质的能力及培养学生思维的深刻性，这是非常重要的。例如，排列、可重复排列、组合和可重复组合这几个概念，学生在学习中常常容易混淆，在解决实际问题中经常出错，因此在讲解时，需指出排列和组合的本质区别：排列讲究元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序，并举一些具体例子加以说明。

例1：求从15本不同的书中任选取2本及从该15本书中选取2本排成一行的方法数。

不难看出前者是一个纯粹的组合问题，而后者是一个纯粹的排列问题，分别利用组合数和排列数的计数公式很快可知前者为C■■=■，而后者为P■■=■。

例2：求15本不同的书在书架上排成一行及15本书中有8本相同的语文书、5本相同的数学书及2本相同的英语书在书架上排成一行的方法数。

先让学生分析并挖掘这个例子字里行间的深层含义，就会发现两者都强调顺序，因此都是排列问题，但前者的着重点是不同的书，而后者是若干本相同的书，这样很快就断定前者是一般排列问题，而后者是可重复排列问题，再进一步利用排列和可重复排列的计数公式很快就可求得它们的方法数分别为：P■■=■和■。

二、注意不同数学分支的交叉渗透

组合数学与其他数学分支有着紧密的联系，尤其是代数、分析和拓扑学等，在教学中一方面可讲授一些用组合数学解决代数、分析和拓扑学中问题的实例，另一方面也可讲授一些用分析、代数和拓扑学解决组合数学问题的实例，从而让学生体会到数学的各个分支并不是孤立的而是互相交叉渗透的一个有机的整体，这样可拓展学生的思维，开阔他们的视野，并在将来的学习中能有意识地将不同的数学分支融合在一起。例如，在组合恒等式的证明中常用到分析学，甚至有时它是我们解决组合问题的关键技巧。

例3：证明：■■nk=■■ （n≥1）.

证明令f（x）=■■nkxk，

则f（0）=0，f（1）=■■nk，

f '（x）=■（-1）■nkxk-1=1+1（1-x）+（1-x）2+…+（1-x）n-1，

即f '（x）=■（1-x）j.

上式两边同时求积分得：f（x）=-■■（1-x）j+1+C

所以0=f（0）=-■■+C，C=■■=■■.

从而f（x）=-■■（1-x）j+1+■■，

■■nk=f（1）=■■.

诚然，该问题若用纯组合的方法也可给出证明。

三、注重学生创新思维的培养

数学教学不仅仅是一种纯粹数学知识的教与学的过程，教师若在教学中过多地注重数学方法的外在模仿而忽视对本质的理解及对思维方法的拓展，往往会导致思路的狭窄、创新意识和创新精神的扼杀，更不会有强烈的创新冲动，从而阻碍数学的发展，因此在数学教学过程中应让学生多提问、多思考、多探索，从而培养学生的创新性思维。数学教学作为一种以教学为中心的思维活动，不但要求学生掌握数学知识，更要求学生亲自体验获得知识的全过程，这才能深刻理解并真正学会科学的思维方法，从而掌握数学研究的思维方法和一般规律。

组合数学作为数学的一个分支，有较强的实际背景，强调数学应用能力的培养，它解决问题的方法灵活多变，没有固定模式，往往一个问题一种解法，因此培养学生的具体问题具体分析的创新能力就显得尤其重要了。例如，我们在生活中常常见到各种地图，两个相邻的区域涂上不同的颜色，通常地图上只涂了5种颜色，可以问学生4种颜色够用吗？3种颜色够用吗？若3种颜色不够用再增加合适的条件能否使3种颜色够用？若是把平面上的同一个图形也画到高维曲面，如，射影平面和双环面，情况又会如何呢？这些都是来自生活实际的问题，也可让学生尝试找一些生活中的其他问题，并试图用组合的方法去解决它们。这样既能让他们体会到学习组合数学的乐趣，也培养了他们的创新思维。

四、结语

虽然笔者总结了多年在组合数学教学中的一些经验，但需要指出的是，这些经验并不尽如人意，仍有很多需要注意的问题。此外，在具体的组合数学教学实践过程中，还会有许多新问题不断涌现，因此教师需要根据实际情况及时调整改进自己的教学方法。

参考文献：

[1]李乔.组合学讲义[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]卢开澄.组合数学[M].北京：清华大学出版社，2002.

基金项目：重庆市自然科学基金科研项目资助（cstc2012jjA00041）；重庆市教委科研项目资助（KJ101204）

作者简介：龙述德（1972-），男，湖南邵阳人，博士，副教授，主要从事组合数学与图论方面的研究。