《高等数学》课程中极限定义的教学研究

张静 樊永艳

【摘要】《高等数学》课程中，极限是非常重要的，极限的定义是该课程中的难点．本文将采用等价分析法讲解极限的抽象定义，即将极限的一般定义中的各部分逐一变换成抽象的数学语言.由易渐难地定义极限,使学生们更容易接受。

【关键词】极限 等价分析法 抽象定义

【Abstract】 In the “ higher mathematics” course, the limit is very important．The definition of limit in the course is difficulty. This paper will use the equivalent analysis method to explain the abstract definition of limit, that is the each part that the general definition of the limitare transformed into an abstract mathe matical language. From easy gradually difficult definition of limit, make it easier for students to accept.

【Keyword】Limit; equivalent analysis method; abstract definition.

【中图分类号】G633.66 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）05-0104-01

1.研究极限定义教学的必要性

《高等数学》课程中，主要内容为微积分。课程本身就是用极限的方法来研究的。第一章主要内容为极限，在后面的学习中，函数连续、导数以及定积分的概念等都是用极限来定义的。作为刚刚升入大一的学生，还不适应大学数学的思维方法。高中数学仅仅是将理论用于实践，但大学数学里，理论的来源也十分重要，有的题目要用定义来解决。没有极限，数学后面的课程几乎寸步难行。由此看来，极限定义的教学探讨是十分必要的。研究极限定义的教学，避免了学生对《高等数学》失去信心，产生抵触情绪。

2.极限的抽象定义与难点分析

x→x0时函数的极限的定义如下：

定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义．如果存在常数A，对于任意给定的正数?着（不论它多么小），总存在正数 ?啄，使得当x满足不等式0＜｜x→x0｜＜?啄时，对应的函数值f(x)都满足不等式｜f(x)-A｜＜?着，那么常数A就叫作函数f(x)当x→x0时的极限。

极限定义的教学难点在于：定义是用抽象的数学语言来刻画的。“去心邻域”、 “存在”、“任意给定”以及一些x、x0、f(x)、?着和?啄之间的关系式，另外还存在着绝对值不等式，使学生难以搞懂。

实际上，撇开x→x0这个过程，就得到了函数极限的一般定义：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限．这样的描述，是中学数学名词定义的方法，易懂，但是缺少了大学数学的抽象、严密性，感受不到《高等数学》的灵魂所在。对于理科生来说，我们有必要将极限的抽象定义理解的透彻。

3.极限定义的等价分析法

在分析前，可先将函数的一般定义为学生述叙一遍，使学生对极限的定义有个了解。下面对函数极限的一般定义逐渐抽象化：如果函数f(x)在x0点邻近的点（不考虑x0点）处有定义，那么，当x任意接近x0时，即x→x0时，对应函数值f(x)无限接近于常数A，那么常数A就叫作函数f(x)当x→x0时的极限。

分析：当x→x0过程中，对应函数值f(x)无限接近于常数A。

?圳当x→x0过程中, 对应函数值f(x)与常数A的绝对值,即｜f(x)-A｜能够任意的小。(在这里要对学生们说明｜f(x)-A｜的意义,即为函数值f(x)与常数A的距离)。

?圳当x→x0过程中,对于任意给定的正数?着＞0, ｜f(x)-A｜＜?着。(此时,向学生们说明,是任意给定的,哪怕再小,我们都可以找到合适的x，使得对应的函数值(x)与A常数 的距离比给定的 还要小，但并不是所有的 都满足条件，要求是充分接近x0的)。

?圳当x→x0过程中, 对于任意给定的正数?着＞0,只有充分接近x0的x,才能使｜f(x)-A｜＜?着。(向学生们提问,如何来表示充分接近x0的x呢)。

下面给出“充分接近”的抽象的数学语言描述:存在一个很小的正数?啄＞0,满足不等式 0＜｜x→x0｜＜?啄的x即为充分接近x0的x,其中?啄的大小,决定了x接近x0的程度, ?啄越小, x越接近x0。

4.总结

将极限抽象的定义用等价分析法讲解，也就是将极限的一般定义中的各部分逐一变换成抽象的数学语言。由易渐难地定义极限,使刚刚开始学习《高等数学》的大一学生们更容易接受。极限的学习十分重要,为后面的课程学习提供了必要的基础。本文用等价分析法研究了 过程的函数极限,其它的极限定义可以类似分析。

参考文献:

[1]同济大学应用数学系. 高等数学（第六版）. 高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社, 1991, 10.

[3]蔡慧萍. 关于高等数学中极限概念教学的探究[J]. 科技信息,2010(20):506.

[4]王坤元.掌握极限和极限方法是学好微积分的关键[J]. 高等函授学报(自然科学版)，2000(5),20-23.