“一个也不能少一条也不能多”

2011年高考成绩出来后,好多考生感觉数学成绩比原先自己参照答案预估的要低。在与一些参加过高考阅卷的老师交谈中，我得知了一些网上阅卷中的细节，也了解到一些学生因做题不够规范或是犯了一些想当然性质的错误，造成失分。为使众多考生引以为戒，牢记知识点，查缺补漏，现举例谈谈立体几何题的规范解答，一孔之见，权作抛砖。

【例1】（本题满分14分）（2011•江苏卷第16题）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.

求证：（1） 直线EF∥平面PCD；

（2） 平面BEF⊥平面PAD.

错解证明：(1) 在△PAD中，∵E,F分别是AP,AD的中点，

∴EF∥PD，2分

∴直线EF∥平面PCD.（定理条件不全，不给分）

(2) 连接BD.∵AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形.

∵F是AD的中点，

∴BF⊥AD.4分

∵平面PAD⊥平面ABCD，BF计矫鍭BCD，

∴BF⊥平面PAD.（定理条件不全，不给分）

∴平面BEF⊥平面PAD.（定理条件不全，不给分）

错因分析使用定理时条件不齐全而失去该得分步骤的所以得分。第一问中，线面平行的判定定理条件有3个，该考生只写了1个，漏写“EFて矫鍼CD，PD计矫鍼CD”；同理，在第二问中使用面面垂直的性质定理时漏写“平面PAD∩平面ABCD=AD”、使用面面垂直的判定定理时，漏写“BF计矫鍮EF”。

正确解法证明：(1) 在△PAD中，∵E,F分别是AP,AD的中点，

∴EF∥PD，2分

又∵EFて矫鍼CD，PD计矫鍼CD，

∴直线EF∥平面PCD.6分

(2) 连接BD.∵AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形.

∵F是AD的中点，

∴BF⊥AD.8分

∵平面PAD⊥平面ABCD，BF计矫鍭BCD，

又∵平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BF⊥平面PAD.12分

又∵BF计矫鍮EF，

∴平面BEF⊥平面PAD.14分

防错机制（1） 线面位置关系中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直各有自己的判定定理及性质定理，同学们要理解熟记每一个定理各自所需的条件，在解题过程中书写规范，使用定理时条件充足，正所谓“一个也不能少”。

（2） 平时养成严谨答题的好习惯，不要因赶时间而跳步骤，染上坏习惯后很难改正。

【例2】（本题满分8分）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.

错解过M作MG∥BC交AB于G(如图),连接NG.

∵MG∥BC,BC计矫鍮CE，MGて矫鍮CE.

∴MG∥平面BCE.2分

又∵正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，

∴BGGA=CMMA=BNNF，∴GN∥AF.3分

而AF∥平面BCE,

∴GN∥平面BCE.(此处用了没有的错误的“定理”)

∵MG∩GN=G,∴平面MNG∥平面BCE.

又MN计矫鍹NG,

∴MN∥平面BCE.

错因分析本类题主要考查空间中线面位置关系（平行）的判定，是每年高考不可避免的考查内容。上述解法的错误在于他使用了自己创造发明的“定理”：a∥b,b∥α輆∥α。而线面平行没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行该平面；

有的考生由“MG∥BC，GN∥BE萜矫鍹NG∥平面BCE”,这种做法也会失分的。因为面面平行的判定定理是由线面平行推到面面平行，而这种做法是由线线平行直接得到面面平行，会因判定定理使用不对而失去本步骤的分数。

正确解法过M作MG∥BC交AB于G(如图),连接NG.

∵MG∥BC,BC计矫鍮CE，MGて矫鍮CE，

∴MG∥平面BCE.2分

又∵正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，

∴BGGA=CMMA=BNNF，

∴GN∥AF∥BE.3分

BE计矫鍮CE，GNて矫鍮CE，

∴GN∥平面BCE.5分

∵MG∩GN=G,

∴平面MNG∥平面BCE.7分

又MN计矫鍹NG，

∴MN∥平面BCE.8分

注：本题亦可用线线平行推出线面平行.

防错机制一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求自己注意表述规范，推理严谨，只能用所学的判定与性质定理，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论.即定理“一条也不能多”。

牛刀小试

（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.

（1） 求证：B1D1∥面A1BD；

（2） 求证：MD⊥AC；

（3） 试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

【参考答案】

（1） 证明：由直四棱柱,得BB1∥DD1,

且BB1=DD1,

∴BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.

3分

而BD计矫鍭1BD,B1D1て矫鍭1BD,

∴B1D1∥面A1BD.4分

（2） 证明：∵BB1⊥面ABCD,AC济鍭BCD，

∴BB1⊥AC.6分

又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B，

∴AC⊥面BB1D1D.8分

而MD济鍮B1D1D，∴MD⊥AC.9分

（3） 当点M为棱BB1的中点时,

平面DMC1⊥平面CC1D1D.10分

取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM.

∵N是DC的中点,BD=BC,∴BN⊥DC；

又∵DC是面ABCD与面DCC1D1的交线,而面ABCD⊥面DCC1D1,

∴BN⊥面DCC1D1.12分

又可证得,O是NN1的中点,∴BM∥ON,且BM=ON,即BMON是平行四边形,

∴BN∥OM,∴OM⊥平面CC1D1D,14分

∵OM济鍰MC1,

∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.15分

（作者：张彬，江苏省西亭高级中学）

（上接第64页）

由2θ+π4∈π4,5π4，此时OC∈(1,2+1］；

当A、B、C、D按逆时针方向时，如图所示，在△OBC中，

a2+1－2acosπ2－θ=OC2，

即OC=(2cosθ)2+1－2•2cosθ•sinθ

=4cos2θ+1－2sin2θ

=2cos2θ－2sin2θ+3

=－22sin2θ－π4+3，

由2θ－π4∈－π4,3π4，此时OC∈［2－1,5)，

综上所述，线段OC长度的最小值为2－1，最大值为2+1．

(作者：陈勇军，江苏省通州高级中学)

数学是一种目标明确的思维活动，是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度——克莱因（美国数学家）。为此，我们在解题时，要加强目标意识，在正确的目标引领下，进行有效的探求。为此，我们在整个教学活动中始终要明确“我要达到什么目标，怎样达到”及“如何选择适当的方法达到最佳效果”，以便少走弯路或不走弯路，从而提高学生学习的主动性和策略性，提高教学活动的效率。尤其在立体几何的复习中更要加强解题的目标意识。

【例1】如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，CD=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.

（1） 求证：AB∥平面PCD；

（2） 求证：BC⊥平面PAC；

（3）若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．

分析（1） 由“线线平行谙呙嫫叫歇诿婷嫫叫小敝，欲达到“线面平行”这一目标，应从“线线平行”或“面面平行”的角度去考察；

（2） 由“线线垂直谙呙娲怪豹诿婷娲怪薄敝，欲证BC⊥平面PAC，将目标转化为BC垂直于平面PAC内的两条相交的直线；

（3） 求三棱锥MACD的体积的目标转移为目标1——底面积ADC比较好求，而目标2——M到底面ADC的距离，应由M是PC的中点转化为P到面ADC距离的一半。

证明（1） 由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，

又ABて矫鍼CD，CD计矫鍼CD，

∴AB∥平面PCD.

（2） 在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，

则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1.

又AB=2,∴BE=1，

在Rt△ABC中，∠ABC=45°,

∴CE=BE=1,CB=2,∴AD=CE=1.

则AC=AD2+CD2=2，AC2+BC2=AB2,

∴BC⊥AC.

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC,

又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.

（3） ∵M是PC的中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半，

VMACD=13S△ACD•12PA

=13×12×1×1×12=112.

点拨由“线线平行菹呙嫫叫小奔啊跋呦叽怪豹菹呙娲怪薄笔保应注意满足的条件不可缺少。

总结：在证明“线面平行或垂直”时，要有化归的意识，利用好转化的方法，即应该利用好“线线平行菹呙嫫叫歇菝婷嫫叫小焙汀跋呦叽怪豹菹呙娲怪豹菝婷娲怪薄薄

【例2】在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC,O是AD上一点.

（1） 若CD∥面PBO,试指出O点的位置；

（2） 若面PAB⊥面PCD，试证明PD⊥面PAB.

分析（1） 由“线线平行菹呙嫫叫歇菝婷嫫叫小保将目标转化为“若CD∥BO，试指出O点的位置。”

（2） 由“线线垂直菹呙娲怪豹菝婷娲怪薄敝，欲证明PD⊥面PAB，则可转化为PD垂直于面PAB内两条相交的直线，而PD⊥AP易证。那么PD还垂直于哪条直线呢？条件：面PAB⊥面PCD如何转化呢？由平面与平面垂直的性质定理知，要得到“线面垂直”，必须在面PAB内找一条直线与这两平面的交线垂直。

证明（1） ∵CD∥面PBO,CD撩鍭BCD，

又∵面PBO∩面ABCD=BO，∴CD∥BO.

又∵AD＝3BC，

∴点O在AD的三等分点上（靠近点D）.

（2） ∵侧面PAD⊥底面ABCD,∠BAD＝90°，面PAD∩面ABCD=AD，AB撩鍭BCD，

∴AB⊥面PAD.

又∵PD撩鍼AD，∴AB⊥PD.

延长AB，DC交于M点，连接PM，过点A作AH垂直于PM，垂足为H.

又∵面PAB⊥面PCD，面PAB∩面PCD=PM,

∴AH⊥面PCD，又∵PD撩鍼CD，∴AH⊥PD.

又∵AB∩AH=A，AB、AH撩鍼AB，

∴PD⊥面PAB.

点拨（1） 中最后的结果表示应说明：点O在AD的三等分点上（靠近点D处）；

（2） 注意条件面PAB⊥面PCD如何转化，没有现成的“线线垂直”，所以要构造新的“线线垂直”，结合条件面PAB⊥面PCD进行应用。

总结：这一题的第二问难度比较大，关键是平面与平面垂直的性质定理的应用，应该要满足什么条件，这个必须清楚，缺少现成条件的，要添加辅助条件，以帮助问题的解决。

牛刀小试

1. 如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.

(1) 求证：CE⊥平面PAD；

(2) 若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥PABCD的体积．

2. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.

（1） 若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；

（2） 若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；

（3） 在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.

3. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点．

（1） 求证：BE∥平面PAD；

（2） 若AB⊥平面PAD，平面PBA⊥平面PBD，求证：PA⊥PD．

【参考答案】

1. (1) 证明：因为PA⊥平面ABCD，CE计矫鍭BCD，

所以PA⊥CE.

因为AB⊥AD，CE∥AB，

所以CE⊥AD.

又PA∩AD＝A，

所以CE⊥平面PAD.

(2) 由(1)可知CE⊥AD.

在Rt△ECD中，DE＝CD•cos45°＝1，CE＝CD•sin45°＝1.

又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，

所以四边形ABCE为矩形．

所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB•AE＋12CE•DE＝1×2＋12×1×1＝52.

又PA⊥平面ABCD，PA＝1，

所以V四棱锥PABCD＝13S四边形ABCD•PA＝13×52×1＝56.

2. （1） 证明：因为底面ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.

因为AC⊥PD，PD∩BD=D，

所以AC⊥平面PBD.

（2） 证明：由（1）可知AC⊥BD.

因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，

BD计矫鍭BCD，

所以BD⊥平面PAC.

因为PO计矫鍼AC，

所以BD⊥PO.

因为底面ABCD是菱形，

所以BO=DO.

所以PB=PD.

（3） 不存在.下面用反证法说明.

假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.

在菱形ABCD中，BC∥AD，

因为AD计矫鍼AD，BCて矫鍼AD，

所以BC∥平面PAD.

因为BM计矫鍼BC，BC计矫鍼BC，

BC∩BM=B，

所以平面PBC∥平面PAD.

而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.

所以不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.

3. （1） 思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF（其中F为PD的中点）.

取PD的中点F，连接AF、EF，

则EF∥CD且EF=12CD.

又AB∥CD且AB=12CD.

∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF.

∵BEっ鍼AD，AF济鍼AD，∴BE∥面PAD；

思路2：转化为线线平行，延长DA、CB，交于点F，连接PF，易知BE∥PF.

思路3：转化为面面平行，取CD的中点F，易证平面BEF∥平面PAD.

（2） 在平面PBA内作AH⊥PB于H，

则AH⊥平面PBD，

从而AH⊥PD，又已知AB⊥平面PAD，

所以AB⊥PD，

这样PD⊥平面PBA，故PA⊥PD．

（作者：张建，江苏省通州高级中学）