规范解题,胜利在望
2012-04-09吴冬梅
高考的号角已经吹响了，同学们的弦绷得更紧了。家长的期望，老师的嘱咐，如何在这有限的时间内化这些鼓励为分数呢？这是每一个考生和家长都关心的问题。其实，这并不困难。我们很多考生在分析自己的试卷时都会发现，丢分最多的往往并不是那些自己不会的，而是由于“粗心”，说明确了就是解题不规范和计算失误所造成的。所以，我们认为无论是哪个层面上的学生在这一段时间内都特别要注重解题的规范性，不要因为“会而不对”而丢分。我在这儿罗列了一些圆锥曲线中同学们经常犯错的地方，希望同学们在第二轮复习中能注意到这些地方。
【例1】已知椭圆过点2,332,－1,3154，求该椭圆的方程.
错解设该椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由题意过点2,332,－1,3154，代入得
4a2+3322b2=1,
(－1)2a2+31542b2=1,即a=4,
b=3,
所以椭圆的标准方程为x216+y29=1.
错因分析看答案并没有发现什么问题，但这位同学的解题过程完全是错的。他第一步就发生了错误，并不是每一个椭圆的标准方程都是x2a2+y2b2=1，而且题目中也没有任何一个信息能反映出该椭圆的焦点在哪里？
正确解法解法一：①若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程可设为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由题意过点2,332,－1,3154，代入得
4a2+3322b2=1,
(－1)2a2+31542b2=1,即a=4,
b=3,
所以椭圆的标准方程为x216+y29=1.
②若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程可设为y2a2+x2b2=1(a>b>0),
由题意过点2,332,－1,3154，代入得
3322a2+4b2=1,
31542a2+1b2=1,即a=3,
b=4,不符舍.
综上椭圆的标准方程为x216+y29=1.
解法二：设该椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>0,n>0,m≠n),
由题意过点2,332,－1,3154，代入得
4m+3322n=1,
(－1)2m+31542n=1,即m=16,
n=9,
所以椭圆的标准方程为x216+y29=1.
防错机制在求椭圆的标准方程时要注意六个字“定型，定位，定量”，不能盲目的认为椭圆的标准方程就是x2a2+y2b2=1。在没办法定位，也是无法确定焦点坐标时，我们可以设为一般式x2m+y2n=1(m>0,n>0,m≠n)。
【例2】设双曲线x2a2－y2b2=1(0 错解由题意设直线l的方程为xa+yb=1， 即bx+ay－ab=0, 原点到直线l的距离为d=|－ab|a2+b2=34c. 又c2=a2+b2, 所以4ab=3c2, 故e=2或e=233. 错因分析这位同学看题目很不仔细，条件并没有完全用上。我们都知道在椭圆中a最大，在双曲线中c最大。在双曲线中a与b之间并没有大小关系，一旦给出大小关系，那么必定限制了这个双曲线，也就是在本道题目中的离心率就会有范围。 正确解法由题意设直线l的方程为xa+yb=1，即bx+ay－ab=0, 原点到直线l的距离为d=|－ab|a2+b2=34c. 又c2=a2+b2, ∴4ab=3c2, ∴e2=4或e2=43. 而0 ∴a2 ∴e=2. 防错机制无论什么题目我们都要认真审题再下笔，特别是小括号里面的，千万不能忽视。但在考试的时候，我们同学往往看似赶时间，匆匆看过题目就答题，其实这是很浪费时间的。因为一旦弄错发现了的话还要从头再来，浪费更多的时间；没发现的话就造成了一个遗憾。注意，高考中，审题是关键。 【例3】在平面直角坐标系中，经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q．设椭圆与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别是A,B，是否存在常数k，使向量OP+OQ与AB共线？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 错解假设存在，由题意直线l的方程为y=kx+2, 由x22+y2=1, y=kx+2,得 12+k2x2+22kx+1=0.* 设P(x1,y1),Q(x2,y2), ∴OP+OQ=(x1+x2,y1+y2). 在*中x1+x2=－42k1+2k2,x1x2=21+2k2, y1+y2=k(x1+x2)+22=－42k21+2k2+22, AB=(－2,1). ∵向量OP+OQ与AB共线, ∴x1+x2=－2(y1+y2), 即－42k1+2k2=－2－42k21+2k2+22, 得k=22. 错因分析这位同学审题不够严谨，从头到尾即使有时间再检查一遍也不会找出错误。因为他对于直线与圆锥曲线相交并没有得到深刻的认识，对于函数中的韦达定理也掌握得不够踏实。在本道题目中直线与椭圆是相交的，所以对于*式首先要保证有解，即Δ>0。我们不妨把这位同学的答案代入*式，你会发现Δ=0。所以这位同学就因为这点失误导致没能拿满分，很可惜！ 正确解法假设存在，由题意直线l的方程为y=kx+2, 由x22+y2=1, y=kx+2,得 12+k2x2+22kx+1=0.* Δ=(22k)2－412+k2>0, 得k<－22或k>22. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), ∴OP+OQ=(x1+x2,y1+y2). 在*中x1+x2=－42k1+2k2,x1x2=21+2k2, y1+y2=k(x1+x2)+22=－42k21+2k2+22, AB=(－2,1). ∵向量OP+OQ与AB共线, ∴x1+x2=－2(y1+y2), 即－42k1+2k2=－2－42k21+2k2+22, 得k=22不符舍. 防错机制我们在做直线与圆锥曲线位置关系的题目中要特别注意首先满足这种位置关系再使用韦达定理，通过一定的练习相信会养成这个良好的习惯。 牛刀小试 1. 若椭圆x25+y2m=1的离心率e=105，则m的值是. 2. 如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2. （1） 求椭圆的标准方程; （2） 设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程. 3. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1） 求椭圆C的方程; （2） 若F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，能否在椭圆C上找到一点P，使点P到右准线的距离PQ是PF1和PF2的等比中项？若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由． 【参考答案】 1． 3或253 2． （1） 设该椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1, 由题意知：a2c=4,a2c－c=2, ∴c=2,a2=8. 又a2=b2+c2,∴b2=4, ∴椭圆的标准方程为x28+y24=1. （2） 由题意设圆C的方程为 (x－m)2+(y－n)2=r2(r>0), 由圆C经过点F(2,0)得(2－m)2+n2=r2. 由圆C被l截得的弦长为4, ∴|4－m|2+22=r2,∴n2=16－4m, ∴OC=m2+n2=m2－4m+16 =(m－2)2+12. ∵n2≥0,∴m≤4, ∴当m=2时，OCmin=23,此时n=±22,r=22. ∴圆C的方程为(x－2)2+(y－22)2=8或(x－2)2+(y+22)2=8. 3. （1） 由题意e=ca=12,a=2,a2=b2+c2, ∴a=2,b=3, 此椭圆的标准方程为x24+y23=1. （2） 假设存在，设P(x0,y0)， 由圆锥曲线的统一定义知： PF2d=e，PF2=de=a2c－x0e=2－12x0. 同理PF1=2+12x0. 又PQ=4－x0, ∵点P(x0,y0)在椭圆上, ∴x204+y203=1. ∵点P到右准线的距离PQ是PF1和PF2的等比中项, ∴2－12x02+12x0=(4－x0)2, 得x0=4或x0=125. 又|x0|≤2, 故不存在. (作者:吴冬梅,江苏省西亭高级中学)
