综合测试一

何明海

参考公式：

(1)样本数据x1，x2，…，xn的方差，其中．

(2)棱锥的的体积V=Sh，其中S为底面积，h为高．

一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填在答题卡的相应位置）

1． 已知复数a+bi=51-2i（i是虚数单位，a，b∈R），则a+b=.

（第6题）

2． 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P（2，1），且与直线2x+3y+1=0垂直，则l的方程是.

3． 有一组样本数据8，x，10，11，9，已知它们的平均数为10，则这组数据的方差s2＝.

4． 已知向量a，b，c满足a+2c=b，且a⊥c，|a|=1,|c|=2,则|b|=.

5． 一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是.

6． 在如图所示的流程图中，输出的结果是.

7． 设a，b为不重合的两条直线，α,β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若a鸡,bう,a,b是异面直线，那么b∥α；

②若a∥α且b∥α，则a∥b；

③若a鸡,b∥α,a,b共面，那么a∥b；

④若a⊥α,α⊥β，a∥b，则b⊥β.

上面命题中，所有真命题的序号是.

8． 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M、N两点，MN≥23，则k的取值范围是.(第9题)

9． 函数y=2sinπ4x-π2的部分图象如右图所示，则(OA+OB)•AB=.

10． 在平面直角坐标系xOy中，满足条件x≥2,

x+y≤0,

x-y-10≤0的点(x,y)形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则区域D和E中距离最近两点的距离为.

11． 计算x2+8x2+4的最值时，我们可以将x2+8x2+4化成x2+4+4x2+4=(x2+4)2+4x2+4，再将分式分解成x2+4+4x2+4，然后利用基本不等式求最值；借此，计算使得x2+1+cx2+c≥1+cc对一切实数x都成立的正实数c的范围是.(第13题）

12． 若钝角三角形ABC的三边a，b，c是三个连续整数，则△ABC外接圆的半径为.

13． 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，F分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点、右焦点，C上的点P满足PF⊥x轴，射线AP交C的右准线于点Q，若直线QA、QO、QF的斜率依次成等差数列，则椭圆C的离心率为.

14． 在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为.二、 解答题(本大题共六小题，共90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15． （本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且5tanB=8aca2+c2-b2.

(1) 求sin2A+C2+cos2B的值；

(2) 若tanC=612，c=2，求b的值.

16． （本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，PD=BD=8，AC=6，AC∩BD=O，E是棱PB上的一点．

(1) 求证：AC⊥DE；

(2) 若BE∶EP=1∶2，求三棱锥OBCE的体积；

(3) 是否存在点E，使△ACE的面积最小？若存在，试求出△ACE面积最小值及对应线段BE的长；若不存在，请说明理由．

综合测试(一)第2页17． （本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F.

（1） 若点B(2，3)，求△ABC的面积；

（2） 若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2.

试探究k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由.

18． （本小题满分16分）

如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE，H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上.已知AB=20米，AD=103米，记∠BHE=θ.

(1) 试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域；

(2) 若sinθ+cosθ=2，求此时管道的长度L；

(3) 问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.

综合测试(一)第3页19． （本小题满分16分）

等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0(t∈R,n∈N*).

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；

(3) 当数列{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak和ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m.

20． （本小题满分16分）

设函数f(x)=x2，g(x)=mlnx(m>0)，已知f(x)与g(x)有且仅有一个公共点．

(1) 求m的值；

(2) 对于函数h(x)=ax+b(a,b∈R)，若存在a，b，使得关于x的不等式g(x)≤h(x)≤f(x)+1对于g(x)定义域上的任意实数x恒成立，求a的最小值以及对应的h(x)的解析式．综合测试(一)第4页综合测试(二)第1页